无向图中的三角形数

在计算机科学中，无向图中的三角形数是指一个无向图中，有多少个三元组顶点构成了三角形。

这个问题是重要的社交网络分析中的关键问题，因为它可以帮助计算社交网络中的社交集团，影响力和链接预测等。

算法

最基本的算法是枚举每一个三元组（三个顶点），然后检查它们是否构成一个三角形。这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 $n$ 是图中的顶点数。

更优秀的算法是基于矩阵的算法，其中一个关键的思想是使用邻接矩阵来计算三角形数。具体来说，对于图中的每个顶点 $i$，我们可以计算出与它相邻的顶点集合 $N_i$。然后对于 $i$ 的每一个邻居 $j \in N_i$，我们可以计算 $j$ 与 $i$ 的共同邻居数量 $w_{i,j}$。最后，我们可以在邻接矩阵 $A$ 中计算三角形数，即相邻矩阵 $A^2$ 中的三角形数 $\sum_i \sum_j w_{i,j}$。这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是图中的顶点数。

代码示例

以下是使用 Python 实现上述算法的代码示例：

import numpy as np

def count_triangles(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    adj_square = np.matmul(adj_matrix, adj_matrix)
    triangles = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if adj_matrix[i,j] == 1:
                triangles += adj_square[i,j]
    return triangles // 2  # 每个三角形都被重复计算了两次

# 示例用法
adj_matrix = np.array([
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 1, 1],
    [1, 1, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0]
])
print(count_triangles(adj_matrix))  # 输出 2

在这个示例中，我们使用一个 4 个顶点的图进行演示，其中 $A$ 为其邻接矩阵。函数 count_triangles() 使用上面介绍的算法计算图中的三角形数，并返回结果。最后，我们提供了一个简单的测试用例来验证代码是否正确。