查询给定大小的二进制子矩阵的数量

在计算机科学中，矩阵是一个在行和列上具有固定数量的元素的矩形阵列。在矩阵中，每个元素都有一个唯一的行和列编号。

在本文中，我们将讨论如何计算给定大小的二进制子矩阵的数量。我们假设矩阵的元素都是二进制数字，即0或1。我们将讨论两种方法来解决这个问题，一种是朴素算法，一种是优化算法。

朴素算法

朴素算法非常简单，它的思想是枚举所有可能的子矩阵，并检查它是否具有给定的大小。如果子矩阵的元素都包含1，则将其计入结果中。

以下是朴素算法的Python代码：

def countSubmatrices(matrix, rows, cols, target_rows, target_cols):
    count = 0
    for i in range(rows - target_rows + 1):
        for j in range(cols - target_cols + 1):
            subset = [matrix[x][j:j+target_cols] for x in range(i,i+target_rows)]
            if all(all(x==1 for x in row) for row in subset):
                count += 1
    return count

该函数的输入是一个二维数组“matrix”，以及该矩阵的行数“rows”和列数“cols”，以及所需的子矩阵大小“target_rows”和“target_cols”。该函数返回一个整数，表示矩阵中具有给定大小的二进制子矩阵的数量。

时间复杂度为$O(n^4)$，其中$n=min(rows,cols)$。由于该算法枚举所有可能的子矩阵，因此它可能会非常慢，特别是当矩阵较大时。

优化算法

我们可以使用一个类似于前缀和的技巧，将朴素算法的时间复杂度从$O(n^4)$简化为$O(n^3)$。具体地，我们维护一个二维数组“sum”，其中$sum_{i,j}$表示从$(0,0)$到$(i,j)$的子矩阵中所有元素的总和。使用前缀和技巧，我们可以在常量时间内计算任意子矩阵中的所有元素的总和。

以下是优化算法的Python代码：

def countSubmatrices(matrix, rows, cols, target_rows, target_cols):
    # initialize sum array
    sum = [[0 for j in range(cols)] for i in range(rows)]
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            sum[i][j] = matrix[i][j]
            if i > 0:
                sum[i][j] += sum[i-1][j]
            if j > 0:
                sum[i][j] += sum[i][j-1]
            if i > 0 and j > 0:
                sum[i][j] -= sum[i-1][j-1]
                
    count = 0
    for i in range(target_rows-1, rows):
        for j in range(target_cols-1, cols):
            subset_sum = sum[i][j]
            if i >= target_rows:
                subset_sum -= sum[i-target_rows][j]
            if j >= target_cols:
                subset_sum -= sum[i][j-target_cols]
            if i >= target_rows and j >= target_cols:
                subset_sum += sum[i-target_rows][j-target_cols]
            if subset_sum == target_rows * target_cols:
                count += 1
    return count

该函数的输入和输出与朴素算法相同。该算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中$n=min(rows,cols)$。由于该算法使用前缀和技巧来避免枚举所有可能的子矩阵，因此它比朴素算法快得多。

以上就是本文对于'查询给定大小的二进制子矩阵的数量'的介绍，包括朴素算法和优化算法。希望能对程序员们有所帮助。