查询给定大小的二进制子矩阵的数量

简介

二维数组是在计算机科学中使用非常广泛的数据结构之一。在实际应用中，常常需要针对某个子矩阵进行特殊操作。本文主要介绍如何查询给定大小的二进制子矩阵的数量。

问题描述

对于一个二维数组，给定一个大小为 $m \times n$ 的二进制子矩阵，如何查询其中包含 1 的子矩阵个数？

解决方法

暴力枚举

最简单的方法就是暴力枚举，对每个可能的子矩阵进行判断。具体做法是枚举子矩阵的左上角和右下角坐标，然后用两重循环遍历子矩阵中的每个元素，判断是否为 1。时间复杂度为 $O(m^2n^2)$。

def count_submatrices(grid, m, n, size):
    count = 0
    for i in range(m - size + 1):
        for j in range(n - size + 1):
            found = True
            for k in range(size):
                for l in range(size):
                    if grid[i + k][j + l] != 1:
                        found = False
                        break
                if not found:
                    break
            if found:
                count += 1
    return count

动态规划

观察暴力枚举的做法，我们会发现其中有很多重复计算。例如，对于相邻两个子矩阵，它们共同的部分都被计算了两次。因此，我们可以采用动态规划的思想，记录子矩阵到某个位置为止包含 1 的个数。

具体做法是，设 $dp(i,j)$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的子矩阵中包含 1 的个数。则有：

$$dp(i,j)=\begin{cases} 0 & \mbox{$grid(i,j)=0$}\ dp(i-1,j)+dp(i,j-1)-dp(i-1,j-1)+1 & \mbox{$grid(i,j)=1$} \end{cases}$$

其中，$dp(i-1,j)+dp(i,j-1)-dp(i-1,j-1)$ 表示 $(i,j)$ 为右下角的矩形中不包含 $(i,j)$ 的子矩阵数量，加一即可得到包含 $(i,j)$ 的子矩阵数量。时间复杂度为 $O(mn)$。

def count_submatrices(grid, m, n, size):
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    count = 0
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if grid[i - 1][j - 1] == 1:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + 1
                if i >= size and j >= size and dp[i][j] - dp[i - size][j] - dp[i][j - size] + dp[i - size][j - size] == size ** 2:
                    count += 1
    return count

上述代码中，$dp$ 数组维度为 $(m+1)\times(n+1)$，是为了方便处理边界情况。而第二个 $if$ 语句用于判断以 $(i,j)$ 为右下角的子矩阵是否符合要求。

总结

本文介绍了两种方法来查询给定大小的二进制子矩阵的数量：暴力枚举和动态规划。从时间复杂度上，动态规划优于暴力枚举，因此在实际应用中，优先选择动态规划算法。