在两个数字的适当分数中找到第N个数字

在数学中，我们可以将一个分数表示为分子与分母的比例，其中分子和分母都是整数。但有些分数，例如 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$，可能不是最简分数，即分子和分母不互质。为了得到最简分数，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公约数。

适当分数是指分子小于分母的分数，例如 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{5}{8}$。在这个主题中，我们要在两个给定的适当分数中找到第 $N$ 个数字。

算法思路

我们可以将两个适当分数进行相加，得到一个不可简化的分数。设这个分数为 $\frac{A}{B}$，其中 $A$ 和 $B$ 都为正整数且互质。我们可以利用这个性质来解决这个问题：第 $N$ 个数字就是 $\lfloor \frac{NA}{B} \rfloor$。

最简单的方式是将两个适当分数转化为不可简化的分数之后再相加。但这样会带来一定的时间和空间复杂度，因为我们需要计算最大公约数并且可能需要使用额外的数据结构来存储结果。

另一种更简单的方式是直接在分数的形式下进行运算。我们将分数 $\frac{a}{b}$ 表示为一对有序的整数 $(a, b)$ 并且定义分数的加法。然后我们使用这个算法来计算第 $N$ 个数字。

具体来说，假设我们要找到第 $N$ 个数字，并且分数的形式为 $(p, q) + (r, s)$，其中 $p/q$ 和 $r/s$ 都是适当分数。我们先寻找分数形如 $(p, q) + (1, 1)$ 的全体结果。这些结果是 $(p+1, q)$, $(p, q+1)$, $(p+2, q)$, $(p, q+2)$, $(p+3, q)$, ...，这个序列中的每个数都出现了两次，我们将重复的数字去掉。这个序列也是 $O(N)$ 级别的，因为我们每次向上或向右“跳”一个单元，直到到达第 $N$ 个数字。

接下来，我们判断 $(r, s)$ 是否在这个序列中。如果是，我们就直接返回这个数字；否则，我们就在完整的分数集合中继续寻找。

代码实现

下面是一个用 Python 实现的函数，用于在两个适当分数中找到第 $N$ 个数字：

def find_nth_num_in_proper_fractions(num1, den1, num2, den2, N):
    A = num1 * den2 + num2 * den1
    B = den1 * den2
    a, b = A, B
    while b:
        a, b = b, a % b
    A //= a
    B //= a
    for i in range(1, N+1):
        p = A * i // B
        q = i
        if p % q == 0:
            return p // q
    return None

参数 num1 和 den1 分别是第一个适当分数的分子和分母，参数 num2 和 den2 是第二个适当分数的分子和分母，参数 N 是要查找的数字的位置。函数的返回值是第 $N$ 个数字，如果无法找到，则返回 None。

这个函数的时间复杂度为 $O(N)$，空间复杂度为常数级别。