最大回文集是两个n位数字的乘积

介绍

回文数是指正着读和反着读都一样的数，最大回文集则是指在所有由两个 n 位数字相乘得到的数字中，最大的回文数集合。例如，当 n=2 时，2 个数字的乘积可能是 11, 12, 13, ..., 99 中的任意一个，因此最大回文集为 9009 = 91 × 99。

找到最大回文集的算法面临着高精度运算和大数据处理的挑战。在处理较大数据时，需要使用一些优化算法来提高算法效率。

解决方案

暴力算法

最朴素的解决方案是枚举所有可能的 n 位数字，然后计算它们的乘积，判断是否是回文数，最后找到最大的回文数。但是，这种方法的时间复杂度是 O(n^6)，当 n 增加到 4 或 5 时，就已经无法承受了。

优化算法

1. 双指针法

在寻找回文数时，可以使用双指针法。从两端同时向中间扫描，判断当前数字是否相等，如果不相等，则不是回文数。这种方法的时间复杂度为 O(n)。

2. 翻转法

如果已知一个回文数，可以通过翻转数位的方式构造更大的回文数。例如，如果已知 9009 是回文数，那么将它翻转变成 9009 就是一个更大的回文数。

3. 镜像法

另一种构建回文数的方法是将一个数字分成两部分，然后将其中一部分翻转后按照顺序拼接到原来的数字上。例如，将 91 变成 9119 就是一个回文数。这种方法的时间复杂度为 O(n^2)。

代码示例

def is_palindrome(num):
    """
    判断一个数是否为回文数
    """
    num_str = str(num)
    left, right = 0, len(num_str)-1
    while left < right:
        if num_str[left] != num_str[right]:
            return False
        left += 1
        right -= 1
    return True

def largest_palindrome(n):
    """
    找出最大的由两个 n 位数字相乘得到的回文数
    """
    largest = 0
    for i in range(10**(n-1), 10**n):
        for j in range(i, 10**n):
            product = i * j
            if is_palindrome(product) and product > largest:
                largest = product
    return largest

测试

运行下面的代码，测试 largest_palindrome 函数是否正确。

assert largest_palindrome(2) == 9009
assert largest_palindrome(3) == 906609
assert largest_palindrome(4) == 99000099
assert largest_palindrome(5) == 9966006699

总结

在这篇文章中，我们介绍了最大回文集的概念和解决方案。我们通过暴力算法、双指针法、翻转法和镜像法四种方法来查找最大回文集。具体实现时，我们使用了 Python 编程语言，通过测试我们可以发现算法的正确性。