寻找最大正方形大小使得所有子矩阵的总和小于 K

问题描述

给定一个大小为 N x N 的矩阵 matrix，其中每个元素的值是一个非负整数，求一个大小不超过 N x N 的最大正方形，使得该大小的所有子矩阵的元素和均不大于给定的正整数 K。

解法

本问题可以采用二分答案的方式求解，然后对于每一个矩阵的大小，判断是否存在一个满足条件的子矩阵。

具体地，我们不断对正方形大小进行二分，然后对于每个正方形大小，我们可以在 O(N^2) 的时间复杂度内遍历所有可能的子矩阵，并将其元素和与 K 进行比较，以判断是否有满足条件的子矩阵。

以下是具体的代码实现：

def max_square_size(matrix, K):
    n = len(matrix)
    left, right = 1, n
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        possible = False
        for i in range(n - mid + 1):
            for j in range(n - mid + 1):
                total = sum(matrix[x][y] for x in range(i, i + mid) for y in range(j, j + mid))
                if total <= K:
                    possible = True
                    break
            if possible:
                break
        if possible:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return left - 1

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 O(N^3 log N)，其中 N 表示矩阵的边长。我们需要进行 O(log N) 次二分，每次二分的时间复杂度为 O(N^2)。

参考文献

• LeetCode 1292. Maximum Side Length of a Square with Sum Less than or Equal to Threshold