题目描述

给定一个 $n\times m$ 的矩阵，矩阵中元素为非负整数。请设计一个算法，找到矩阵中最大的正方形 $S$，使得 $S$ 内所有子矩阵中元素之和不超过给定的整数 $K$。

算法思路

本题可以借鉴LeetCode第363题的做法，采用二分答案+前缀和+子矩阵和的方式解决。

具体思路如下：

1. 设矩阵大小为 $n\times m$，使用前缀和数组 $sum$ 记录 $[1,1]$ 到 $[i,j]$ 子矩阵中元素之和，其中 $1\leq i\leq n$，$1\leq j\leq m$。
2. 以 $i,j$ 为右下角顶点，以 $k$ 为边长的正方形的元素之和为 $S=\sum\limits_{p=i-k+1}^{i}\sum\limits_{q=j-k+1}^{j}a_{p,q}$，其中 $1\leq p\leq i$，$1\leq q\leq j$。
3. 对于矩阵中所有正方形，可按照 $S$ 的大小进行排序。
4. 假设当前要求的正方形边长为 $x$，需要找到一个最大的 $x$，满足所有 $S$ 不超过 $K$。
5. 因为所有正方形按照 $S$ 的大小排列，因此可以使用二分查找，找到最大的 $x$，使得 $S\leq K$。
6. 在查找的过程中，判断正方形与 $K$ 的关系，可以使用“子矩阵和”思想（LeetCode题解中也有详细讲解）。
7. 最终返回找到的最大边长 $x$。

复杂度分析

本题解采用二分答案的方式，因此时间复杂度为 $O(n^3\log n)$，其中 $n=\max(m,n)$（实际上，$n$ 要取 $\min(m,n)$ 才对，这里取 $\max(m,n)$ 只是为了方便讲解）。

空间复杂度为 $O(n^2)$，主要是前缀和数组 $sum$ 的占用空间。

代码实现

下面给出题解的代码实现：