在曲线上的给定点找到法线

在数学中，曲线的法线是与曲线相切且垂直的线，它是曲线在给定点的切线的垂线。

我们可以通过以下步骤找到曲线在给定点的法线。

1. 找到曲线在给定点处的切线向量。

曲线在给定点处的切线向量可以通过求曲线在该点的导数来得到。如果曲线由参数方程$x=f(t), y=g(t)$给出，则曲线在给定点$(x_0,y_0)$处的切线向量为$$\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(f(t),g(t))\bigg|_{t=t_0}=(f'(t_0), g'(t_0))$$

2. 找到切线向量的垂线。

切线向量的垂线可以通过将切线向量逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到。如果切线向量为 $\mathbf{v}=(v_x, v_y)$，则可以得到法线方向向量$\mathbf{n}=(-v_y, v_x)$。

3. 找到曲线在给定点处的法线。

曲线在给定点处的法线是过该点且与法线方向向量 $\mathbf{n}$ 垂直的直线。如果给定点为 $(x_0, y_0)$，则曲线在该点处的法线方程为$$\frac{(x-x_0)}{n_x}=\frac{(y-y_0)}{n_y}$$ 将法线的方向向量 $\mathbf{n}$ 带入上述公式，我们可以得到曲线在该点处的法线方程。

下面是一个求曲线在给定点处的法线方程的 Python 函数示例：

import numpy as np

def find_normal(curve, t):
    '''
    curve: 函数，返回一个 tuple，包含曲线 x 和 y 坐标的数组
    t: float，表示曲线上的一个点所对应的参数
    '''
    # 求出曲线在参数 t 处的切线向量
    x, y = curve(t)
    dx_dt, dy_dt = np.gradient([x, y])
    tangent = np.array([dx_dt[0], dy_dt[0]])

    # 求出切线向量的法向量，即法线方向向量
    normal_direction = np.array([-tangent[1], tangent[0]])

    # 求出过给定点的曲线的法线
    normal_point = np.array([x, y]) + normal_direction

    # 返回曲线在给定点处的法线方程
    return x, y, normal_point[0], normal_point[1]

上述代码使用 NumPy 库中的 np.gradient() 函数来计算曲线在给定点处的切线向量。程序会返回曲线在给定点处的 x 和 y 坐标以及法线方程中所包含的两个点的 x 和 y 坐标。

该函数可以适用于大多数曲线模型，例如贝塞尔曲线、 Catmull-Rom 曲线等。