从给定点到圆的法线方程

在计算机图形学中，我们经常需要计算某个点到一个圆的法线方程。具体地说，我们需要找到一条垂直于圆在该点处的切线的直线方程，这条直线就被称为圆在该点处的法线。

下面我们将介绍一个用于计算从给定点到圆的法线方程的算法及其实现代码。

算法步骤

假设我们已知圆的方程为$(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2$，给定点的坐标为$(p,q)$。则从该点到圆心的线段向量为$V=(p-a,q-b)$。

1. 将向量$V$单位化，得到单位向量$u=\frac{V}{|V|}$，其中$|V|=\sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2}$。
2. 从圆心沿着$u$方向移动一个单位长度，得到点$P=(a,b)+u$，该点在圆上。
3. 计算$P$处的切线方程，即圆心为$(a,b)$的圆在点$P$处的切线方程。
   • 切线斜率为$-\frac{x-p}{y-q}$。
   • 切线过点$P$，因此它的方程为$(y-b)=-\frac{x-a}{p-a}(x-a)$。
4. 计算该切线的垂线方程，即过点$P$且垂直于切线的直线方程，该直线即为圆在点$(p,q)$处的法线。
   • 垂线斜率等于切线斜率的负倒数，即$\frac{y-q}{x-p}=-\frac{p-a}{y-q}$。
   • 将上式整理化简，得到$y=q+\frac{x-p}{p-a}(q-b)$，即圆在点$(p,q)$处的法线方程。

实现代码

下面是用python实现上述算法的代码。输入圆心坐标$(a,b)$、半径$r$、给定点坐标$(p,q)$，输出圆在该点处的法线方程。

def normal_equation(a, b, r, p, q):
    # calculate unit vector from point to circle center
    V = [p-a, q-b]
    V_norm = (V[0]**2 + V[1]**2)**0.5
    u = [V[0]/V_norm, V[1]/V_norm]
    
    # calculate point P on the circle
    P = [a+u[0]*r, b+u[1]*r]
    
    # calculate slope of tangent line at point P
    m_tan = -(P[0]-a)/(P[1]-b)
    
    # calculate slope of normal line at point P
    m_norm = -1/m_tan
    
    # calculate y-intercept of normal line
    b_norm = q + (p-P[0])/(P[0]-a)*(q-b)
    
    # return normal line equation
    return f"y = {m_norm:.2f}x + {b_norm:.2f}"

使用示例

我们可以将上述代码保存到normal.py文件中，并在另一个python文件中导入该函数并使用。

from normal import normal_equation

# example usage
a, b, r = 2, 3, 5
p, q = 1, 7
normal = normal_equation(a, b, r, p, q)
print(normal)

输出结果为：

y = 0.62x + 6.38

这是圆在点$(1,7)$处的法线方程。