什么是余弦公式？

三角学是一门数学学科，研究直角三角形的边长和角之间的关系。三角函数，也称为测角函数、角函数或圆函数，是建立角度与直角三角形的两条边之比之间关系的函数。六个主要的三角函数是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。

三角角是由三角函数的比率定义的角度。三角角代表三角函数。角度值可以在 0-360° 之间的任何位置。

直角三角形

如上图中的直角三角形所示：

• 斜边：与直角相对的边是斜边，它是直角三角形中最长的边，与90°角相对。
• 底：角 C 所在的一侧称为底。
• 垂直：考虑角度 C 的对边。

三角函数

三角函数有 6 个基本的三角函数，它们是正弦、余弦、正切、余割、正割和余切。现在让我们看看三角函数。六个三角函数如下，

• 正弦：垂直和斜边的比率定义为正弦，它表示为 sin θ
• 余弦：底边与斜边之比定义为余弦，表示为 cos θ
• 正切：角度的正弦和余弦之比定义为正切。因此，切线的定义是垂直与底的比值，并表示为 tan θ
• cosecant：它是 sin θ 的倒数，表示为 cosec θ。
• 割线：它是 cos θ 的倒数，表示为 sec θ。
• cotangent：它是 tan θ 的倒数，表示为 cot θ。

根据上图，三角比是

sin θ = Perpendicular/Hypotenuse = AB/AC

cosine θ = Base/Hypotenuse = BC/AC

tangent θ = Perpendicular/Base = AB/BC

cosecant θ = Hypotenuse/Perpendicular = AC/AB

secant θ = Hypotenuse/Base = AC/BC

cotangent θ = Base/Perpendicular = BC/AB

互惠身份

sin θ = 1/ cosec θ                     OR                 cosec θ = 1/ sin θ

cos θ = 1/ sec θ                       OR                sec θ = 1 / cos θ

cot θ = 1 / tan θ                     OR                tan θ = 1 / cot θ

cot θ = Cos θ / sin θ               OR               tan θ = sin θ / cos θ

tan θ.cot θ = 1

补角和补角的三角恒等式

互补角：和等于90°的一对角。互补角的恒等式是：

sin (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sin θ

tan (90° – θ) = cot θ

cot (90° – θ) = tan θ

sec (90° – θ) = cosec θ

cosec (90° – θ) = sec θ

补角：和等于 180° 的一对角。补角的恒等式是：

sin (180° – θ) = sin θ

cos (180° – θ) = – cos θ

tan (180° – θ) = – tan θ

cot (180° – θ) = – cot θ

sec (180° – θ) = – sec θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

使用毕达哥拉斯恒等式的余弦公式

One of the trigonometric identities between sin and cos. It represents  sin²x + cos²x = 1

 sin²x + cos²x = 1

Now Subtracting sin²x from both sides,

cos²x = 1 – sin²x

now square both sides

cos x = ± √(1 – sin²x)

带有和/差公式的余弦公式

There are sum/difference formulas for every trigonometric function that deal with the sum of angles (x + y) and the difference of angles (x – y). 

Formulas of cosine function with sum difference formulaes are,

cos(x + y) = cos (x) cos(y) – sin (x) sin (y)

cos (x – y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

使用余弦定律的余弦公式

This law is used to find the missing sides/angles in a non-right angled triangle. Assume a triangle ABC in which AB = c, BC = a, and CA = b. 

The cosine formulas  are,

cos A = (b² + c² – a²)/(2bc)

cos B = (c² + a² – b²)/(2ac)

cos C = (a² + b² – c²)/(2ab)

余弦的双角公式

在三角函数中同时处理 2 倍的角度。余弦的双角公式有多种，因此，我们在根据可用信息解决问题的同时使用以下其中一种。

cos 2x = cos²(x) – sin²(x)

cos 2x = 2 cos²(x) − 1  

cos 2x = 1 – 2 sin²(x)

cos 2x = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)]

示例问题

问题1：如果sin a = 3/5且a在第一象限，求cos a的值。

解决方案：

Using one of the cosine formulas,

cos a = ± √(1 – sin²a)

Since a is in the first quadrant, cos a is positive. Thus,

cos a = √(1 – sin²a)

Substitute sin a = 3/5 here,

cos a = √(1 – (3/5)²)  

cos a = √(1 – 9/25)

cos a =√ (16/25)

cos a = 4/5

问题 2：如果 sin (90 – A) = 2/3，则求 cos A 的值。

解决方案：

Using one of the cosine formulas,

cos A = sin (90 – A)

given that sin (90 – A) = 2/3. Hence,

cos A = 2/3

The value of cos A is 1/2.

问题 3：在三角形 ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b。此外，a = 50 个单位，b = 60 个单位，c = 30 个单位。找到cos A。

解决方案：

By Using the cosine formula of law of cosines,

cos A = (b² + c² – a²) / (2bc)

= (60² + 30² – 50²) / (2 · 60 · 30)

= (3600 + 900 – 2500) / 3600

= 2000 / 3600

cos A = 5/9.

问题4：如果cos A = 4/5，cos B = 12/13，求cos(A+B)的值？

解决方案：

Here given cos A = 4/5, cos B = 12/13

since A and B both lie in 4th quadrant and in 4th quadrant Sin A and Sin B will be negative.

therefore, 

Sin A  = – √(1 – cos² A)

          =  √{1 – (4/5)² }

          =  – √(1 – 16/25)

          =  -3/5

Sin B  = – √(1 – cos² B)

          =  – √{1 – (12/13)²}

          =  -5/13

now 

As per the formulae 

cos(A + B) = cos (A) cos(B) – sin (A) sin (B)

                  = 4/5 × 12/13 – (-3/5)(-5/13)

                  = 48/65 – 15/65

                  = 33/65

问题 5：证明 cos4x = 1- 8sin ² xcos ² x。

解决方案：

Given that 

LHS = cos4x

       = cos2(2x) 

       = cos 2x                              {cos 2x = 1 – 2 sin²(x)}

       = 1 – 2 sin²  2(x)

       = 1 – 2 (sin2x)²

          = 1 – 2(2sinx cosx)²

          = 1 –  8sin²xcos²x 

        = RHS 

Hence proved