数组中非相邻元素的最大求和对

问题描述

给定一个整数数组，求其中非相邻元素的最大求和对。

例如，对于数组 {1, 2, 3, 4, 5}，非相邻元素的最大求和对为 {2, 4}，其值为 6。

解法

动态规划法

题目可以转换成：对于给定的数组，选取一些不相邻的数，使得它们的和最大。

以 {1, 2, 3, 4, 5} 为例，我们可以用一个数组 dp[n] 表示前 n 个数中选取不相邻的数所能得到的最大和。

• 初始化：dp[0] = 0，dp[1] = max(0, nums[0])。
• 状态转移方程：对于第 i 个数，有两种情况，
  • 不选第 i 个数，则最大和为前 i-1 个数的最大和，即 dp[i-1]。
  • 选第 i 个数，则最大和为前 i-2 个数的最大和加上第 i 个数，即 dp[i-2] + nums[i-1]。 取这两种情况的最大值作为 dp[i] 的值。
• 最终结果：dp[n]。

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$。

以下为 Python 代码实现：

def max_sum_pair(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = max(0, nums[0])
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1])
    return (dp[n-1], dp[n])

空间优化

我们发现在状态转移方程中，只用到了 dp[i-1] 和 dp[i-2]，因此可以用两个变量 prev 和 prev_prev 存储它们的值，从而将空间复杂度降为 $O(1)$。

以下为 Python 代码实现：

def max_sum_pair(nums):
    n = len(nums)
    prev, prev_prev = 0, 0
    for i in range(1, n + 1):
        curr = max(prev, prev_prev + nums[i-1])
        prev_prev = prev
        prev = curr
    return (prev_prev, prev)

总结

本题是动态规划的经典问题，必须熟练掌握解法。在实际编程中，可以根据空间复杂度的要求选择不同的解法。