数学中的数制

数制是一种借助一组符号和规则在数轴上表示数字的方法。这些符号的范围为 0-9，称为数字。数字系统用于执行数学计算，从伟大的科学计算到计算儿童玩具的数量或盒子中剩余的巧克力数量。数字系统根据其数字的基值由多种类型组成。

什么是数字线？

数字线是在直线上具有固定间隔的数字的表示。数轴包含所有类型的数字，如自然数、有理数、整数等。数轴上的数字从左到右移动时增加，从右到左移动时减少。数轴的末端没有定义，即数轴上的数字范围从零左侧的无穷大到零右侧的无穷大。

正数：在零右侧表示的数字称为正数。这些数字的值随着向右移动而增加。正数用于数字之间的加法。 示例： 1、2、3、4、……

负数：在零左侧表示的数字称为负数。这些数字的值随着向左移动而减小。负数用于数字之间的减法。 示例： -1、-2、-3、-4、…

数及其类型

数字是在某些规则的帮助下由数字组合创建的值。这些数字用于表示算术量。数字是一组 10 个符号中的一个符号，范围从 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9。数字的任意组合表示一个数字。 Number 的大小取决于用于创建它的位数。

例如： 123、124、0.345、-16、73、9 等。

数字类型

数字有多种类型，具体取决于用于创建数字的数字模式。各种符号和规则也适用于数字，将它们分类为各种不同的类型：

1.自然数：自然数是范围从1到无穷大的最基本的数字类型。这些数字也称为正数或计数数。自然数由符号N表示。

Example: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and so on.

2.整数：整数基本上是自然数，但它们也包括“零”。整数由符号W表示。

Example: 0, 1, 2, 3, 4, and so on.

3. 整数：整数是整数加上自然数的负值的集合。整数不包括分数，即它们不能写成 a/b 形式。整数的范围是从负端的无穷大和正端的无穷大，包括零。整数用符号 Z 表示。

Example: ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

4、分数：分数是写成a/b形式的数，其中a属于整数，b属于自然数，即b永远不能为0。分数的上半部分即a是称为分子，而下部即 b 称为分母。

Example: 1/2, 3/7, 8/3, etc.

5. 有理数：有理数是可以用分数形式表示的数，即a/b。这里，a和b都是整数，b ≠0。所有分数都是有理数，但并非所有有理数都是分数。

Example: -2/5, 0.54, 1/5, 13/4, ...

6. 无理数：无理数是不能用分数形式表示的数，即不能写成a/b。

Example: √2, √3, √.434343, π... 

7.实数和虚数：实数是可以用十进制形式表示的数字。这些数字包括整数、整数、分数等。所有整数都属于实数，但所有实数都不属于整数。

虚数是所有不是实数的数字。这些数字平方后将产生负数。 √-1 表示为i 。这些数字也称为复数。

Example: √-2, √-5,... 

8.素数和合数：除1以外没有任何因数的数和数本身称为素数。除 0 外，除素数外的所有数字都称为合数。零既不是素数也不是合数。

Example: 2, 3, 5, 7,... are prime numbers and 4, 6, 8, 9, 12,... are composite numbers

数字系统的类型

基于基值和允许的位数，数字系统有多种类型。四种常见的数字系统类型是：

1. 十进制数系统
2. 二进制数制
3. 八进制数系统
4. 十六进制数系统

一、十进制数制

以 10 为基数的数制称为十进制数制。它使用 10 位数字，即 0-9 来创建数字。在这里，数字中的每个数字都位于特定位置，其位置值是 10 的不同幂的乘积。在这里，位置值从右到左称为第一个位置值，称为单位，从左到右第二个位置为十，依此类推百、千等 这里，units 的位值为 10 ⁰ ，tens 的位值为 10 ¹ ，数百为 10 ² ，千位为 10 ³ ，以此类推。

例如： 10285 的位置值为

(1 × 10⁴) + (0 × 10³) + (2 × 10²) + (8 × 10¹) + (5 × 10⁰)

1 × 10000 + 0 × 1000 + 2 × 100 + 8 × 10 + 5 × 1

10000 + 0 + 200 + 80 + 5

10285

2. 二进制数制

基值为 2 的数字系统称为二进制数字系统。它使用 2 位数字，即 0 和 1 来创建数字。使用这两个数字形成的数字称为二进制数。二进制数字系统在电子设备和计算机系统中非常有用，因为它可以很容易地使用两种状态 ON 和 OFF 即 0 和 1 来执行。

十进制数 0-9 在二进制中表示为：0、1、10、11、100、101、110、111、1000 和 1001

例子：

14 can be written as 1110

19 can be written as 10011

50 can be written as 110010

3.八进制数系统

八进制数系统是一种以 8 为基数的系统。它使用 8 位数字，即 0-7 来创建八进制数。八进制数可以通过将每个数字与位值相乘然后相加来转换为十进制值。这里的位值是 8 ⁰ 、 8 ¹和 8 ² 。八进制数对于表示 UTF8 数字很有用。

例子：

(135)₁₀ can be written as (207)₈

(215)₁₀ can be written as (327)₈

4. 十六进制数系统

基值为 16 的数字系统称为十六进制数字系统。它使用 16 位数字来创建数字。 0-9 的数字与十进制数字系统中的数字一样，但 10-15 的数字表示为 AF，即 10 表示为 A，11 表示为 B，12 表示为 C，13 表示为 D，14 表示为 E，以及15 as F。十六进制数对于处理内存地址位置很有用。

例子：

(255)₁₀ can be written as (FF)₁₆

(1096)₁₀ can be written as (448)₁₆

(4090)₁₀ can be written as (FFA)₁₆

数字系统的转换

数字系统之间的转换是一项非常容易的任务。借助下面将讨论的某些方法，任何数字系统中的任何数字都可以转换为其他数字系统：

1. 从十进制数系统到其他数系统的转换

十进制数用数字 0-9 和以 10 为基数表示。数字系统的转换意味着从一个基数到另一个基数的转换。以下是十进制数系统到其他数系统的转换：

A. 十进制到二进制的转换：

十进制数以 10 为基数表示，但二进制数以 2 为基数。因此，要将十进制数转换为二进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将十进制数除以要转换的数制的基数。这里转换为二进制，因此除数为 2。
• 步骤2：除法得到的余数将成为新数的最低有效位。
• 第三步：除法得到的商将成为下一个被除数，除以基数即2。
• 第 4 步：获得的余数将成为第二个最低有效数字，即它将添加到先前获得的数字的左侧。

现在，重复步骤 3 和 4，直到得到的商变为 0，并将每次迭代后得到的余数添加到现有数字的左侧。

在所有迭代结束后，最后获得的余数将被称为最高有效位。

B. 十进制到八进制转换：

八进制数以 8 为基数表示。因此，要将十进制数转换为八进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将十进制数除以要转换的数制的基数。这里转换为八进制，因此除数为 8。
• 步骤2：除法得到的余数将成为新数的最低有效位。
• 第三步：除法得到的商将成为下一个被除数，除以基数即8。
• 第 4 步：获得的余数将成为第二个最低有效数字，即它将添加到先前获得的数字的左侧。

现在，重复步骤 3 和 4，直到得到的商变为 0，并将每次迭代后得到的余数添加到现有数字的左侧。

C. 十进制到十六进制的转换：

十六进制数以 16 为基数表示。因此，要将十进制数转换为十六进制数，需要更改该数的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将十进制数除以要转换的数制的基数。这里转换为十六进制，因此除数为 16。
• 步骤2：除法得到的余数将成为新数的最低有效位。
• 第三步：除法得到的商将成为下一个被除数，除以基数即16。
• 第 4 步：获得的余数将成为第二个最低有效数字，即它将添加到先前获得的数字的左侧。

现在，重复步骤 3 和 4，直到得到的商变为 0，并将每次迭代后得到的余数添加到现有数字的左侧。

2. 从二进制数制到其他数制的转换

二进制数用数字 0 和 1 以及基数 2 表示。数字系统的转换意味着从一个基数到另一个基数的转换。以下是二进制数系统到其他数系统的转换：

A. 二进制到十进制转换：

二进制数以 2 为基数表示，但十进制数以 10 为基数。因此，要将二进制数转换为十进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将二进制数的每个数字与该数字的位值相乘，从右到左，即从 LSB 到 MSB。
• 第二步：把这个乘法的结果相加，就形成了十进制数。

示例：将 (11101011) ₂转换为十进制数

B. 二进制到八进制转换：

二进制数以 2 为基数，但八进制数以 8 为基数。因此，要将二进制数转换为八进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 步骤1：将二进制数从右到左，即从LSB到MSB，分成三位数的组。
• 第 2 步：将这些组转换为等效的八进制数字。

示例：将 (11101011) ₂转换为八进制数

C. 二进制到十六进制转换：

二进制数以 2 为基数，但十六进制数以 10 为基数。因此，要将二进制数转换为十六进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 步骤1：将二进制数从右到左，即从LSB到MSB，分成四位一组。
• 第 2 步：将这些组转换为等效的十六进制数字。

示例：将 (1110101101101) ₂转换为十六进制数

三、八进制数向其他数制的转换

八进制数用数字 0-7 和以 8 为基数表示。数字系统的转换意味着从一个基数到另一个基数的转换。以下是八进制数系统到其他数系统的转换：

A. 八进制到十进制的转换：

八进制数以 8 为基数表示，但十进制数以 10 为基数。因此，要将八进制数转换为十进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将八进制数的每个数字乘以该数字的位值，从右到左，即从 LSB 到 MSB。
• 第二步：把这个乘法的结果相加，就形成了十进制数。

例子：

B. 八进制到二进制转换：

八进制数以 8 为基数表示，但二进制数以 2 为基数。因此，要将八进制数转换为二进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：分别写出八进制数的每个数字。
• 第 2 步：将每个数字转换为由三个二进制数字组成的等效组。
• 第 3 步：组合这些组以形成完整的二进制数。

示例： (247) ₈将被转换为二进制

C. 八进制到十六进制的转换：

八进制数以 8 为基数表示，但十六进制数以 16 为基数。因此，要将八进制数转换为十六进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：我们需要先将八进制数转换为二进制数。为此，请按照上述转换中给出的步骤进行操作。
• 第2步：现在要将二进制数转换为十六进制数，将二进制数分成从右到左的四位数组，即从LSB到MSB。
• 第 3 步：在 MSB 之前添加零，使其成为适当的四位数字组（如果需要）
• 第 4 步：现在将这些组转换为其相关的十进制值。
• 第 5 步：对于 10-15 的值，将其转换为十六进制符号，即来自 AF

示例： (5456) ₈将转换为十六进制

4. 从十六进制数系统到其他数系统的转换

十六进制数用数字 0-9 和字母 AF 和基数 16 表示。数字系统的转换意味着从一个基数到另一个基数的转换。以下是十六进制数系统到其他数系统的转换：

A. 十六进制到十进制转换：

十六进制数以 16 为基数表示，但十进制数以 10 为基数。因此，要将十六进制数转换为十进制数，需要更改该数的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：写出十六进制数中使用的符号的十进制值，即来自 AF
• 第 2 步：将十六进制数的每个数字乘以它的位值。从右到左开始，即 LSB 到 MSB。
• 第三步：将乘法的结果相加，最终的和将是十进制数。

示例：将 (8EB4) ₁₆转换为十进制值

B. 十六进制到二进制的转换：

十六进制数以 16 为基数表示，但二进制数是以 2 为基数的。因此，要将十六进制数转换为二进制数，需要更改该数的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：将十六进制符号转换为其等效的十进制值。
• 第二步：分别写出十六进制数的每一位。
• 第 3 步：将每个数字转换为由四个二进制数字组成的等效组。
• 第 4 步：组合这些组以形成完整的二进制数。

示例： (B2E) ₁₆将被转换为二进制

C. 十六进制到八进制转换：

十六进制数以 16 为基数表示，但八进制数以 8 为基数。因此，要将十六进制数转换为八进制数，需要更改该数字的基数。请按照以下步骤操作：

• 第 1 步：我们需要先将十六进制数转换为二进制数。为此，请按照上述转换中给出的步骤进行操作。
• 步骤2：现在要将二进制数转换为八进制数，将二进制数分成从右到左的三位数字组，即从LSB到MSB。
• 第 3 步：在 MSB 之前添加零，使其成为适当的三位数组（如果需要）
• 第 4 步：现在将这些组转换为其相关的十进制值。

示例： (B2E) ₁₆将转换为十六进制