决策树–伪造(伪造)硬币拼图(12个硬币拼图)

让我们使用决策树解决经典的“假硬币”难题。以下是谜题的两种不同变体。我提供以下两个难题的描述，尝试自己解决，假设N = 8。

简易：给定两个平底锅公平的余额和N个外观相同的硬币，其中只有一个硬币较轻(或更重) 。为了弄清楚奇数硬币，在最坏的情况下需要多少个最小称量数?

困难：给定一个两个公平的平衡和N相同看着硬币其中只有一枚硬币米AY是有缺陷的。在最坏的情况下，如何通过最少的试验次数来找出哪个硬币(如果有)是奇数，又如何确定它是较轻还是较重?

让我们从相对简单的示例开始。阅读完每个问题后，请尝试自行解决。

问题1 ：(简单)

给定5个硬币，其中较轻的一个硬币。在最坏的情况下，算出奇数硬币需要最少称量多少个?

将硬币命名为1、2、3、4和5。我们知道一枚硬币较轻。考虑到最佳平衡，我们可以用两种不同的方式对硬币进行分组，[(1、2)，(3、4)和(5)]或[(12)，(34)和(5)]。我们可以轻松排除诸如[(123)和(45)]之类的组，因为我们会得到明显的答案。任何其他组合都将属于这两个组之一，例如[(2)(45)和(13)]等。

考虑第一组，对(1、2)和(3、4)。我们可以检查(1，2)，如果它们相等，则继续(3，4)。在最坏的情况下，我们需要两个称重。当硬币较重时，可以使用相同的类比。

对于第二组，分别称重(12)和(34)。如果它们的平衡(5)是有缺陷的，则选择较轻的一对，我们需要再称重一下才能找到奇数。

在5个硬币的情况下，两种组合都需要两个称重，而一个硬币的先验信息更轻。

分析：通常，如果我们知道硬币是重的还是轻的，我们可以在对数₃ (N)次试验中对硬币进行追踪(四舍五入到下一个整数)。如果我们将平衡的结果表示为三叉树，则每片叶子都表示结果。由于N个硬币中的任何一个硬币都可能是有缺陷的，因此我们需要获得一个具有最少N个叶子的三元树。第k级的三叉树将有3 ^k叶，因此我们需要3 ^k > =N。

换句话说，在k次试验中，如果我们知道有缺陷的硬币是重的还是轻的，我们最多可以检查3 ^k个硬币。假设硬币较重，请验证3次试验足以在12个硬币中找到奇数硬币，因为3 ² <12 <3 ³ 。

问题2 ：(困难)

我们给出4枚硬币，其中只有一枚硬币马y为有缺陷的。我们不知道所有硬币都是真硬币还是存在缺陷硬币。在最坏的情况下，需要多少个称重才能找出奇数硬币(如果存在)?我们还需要告诉它是较重还是较轻。

通过以上分析，我们可以认为k = 2次试验就足够了，因为两级三元树可产生9片叶子，大于N = 4(再次阅读问题)。注意，两次称重不可能解决上述4个硬币的问题。决策树确认事实(尝试绘制)。

我们可以用两种不同的方式对硬币进行分组，即[(12，34)]或[(1，2)和(3，4)]。让我们考虑组合(12、34)，下面给出相应的决策树。蓝色的叶子是有效的结果，红色的叶子是不可能的情况。由于在此之前的假设，我们得出了不可能的情况。

结果可以是(12)<(34)，即我们继续到左子树或(12)>(34)，即我们继续到右子树。

左子树有两种可能，

• A)1或2可以更轻或
• B)3或4可能会更重。

进一步在左侧子树上，作为第二次试验，我们权重为(1、2)或(3、4)。让我们考虑(3，4)，因为(1，2)的类比是相似的。第二步的结果可以是三种方式

• A)(3)<(4)产生4作为有缺陷的较重硬币，或
• B)(3)>(4)产生3作为有缺陷的较重硬币或
• C)(3)=(4)，产生歧义。在这里，我们需要再称重一下以检查1或2的真硬币。在图中，我取了(3，2)，其中3被确认为真硬币。我们可以得到(3)>(2)，其中2较轻，或者(3)=(2)，其中1较轻。注意，不可能得到(3)<(2)，这与我们偏向左侧的假设相矛盾。

同样，我们可以分析正确的子树。我们还需要在正确的子树上再进行两次加权。

总体而言，我们需要进行3次称量才能追踪奇数硬币。请注意，我们无法利用三叉树的两个结果。此外，该树不是全树，中间分支在第一次称重后终止。实际上，我们可以获得27个3级完整三叉树的叶子，但只有11个叶子，包括不可能的情况。

分析：给定N个硬币，所有硬币可能都是真实的，或者只有一个硬币有缺陷。我们需要一个决策树，其中至少有(2N +1)个叶子对应于输出。因为可以有N片较轻的叶子，或者N片较重的叶子或一种真正的箱子，所以总共有(2N +1)片叶子。

如前所述，在级别k上的三叉树最多可以有3 ^k个叶子，我们需要一棵叶子为3 ^k >(2N +1)的树。

换句话说，我们需要至少k> log ₃ (2N +1)权重才能找到有缺陷的1。

观察上图，并非所有分支都在生成叶子，即我们缺少某些分支下的有效输出，从而导致更多的试验。在可能的情况下，我们应该对硬币进行分组，以使每个分支都可以产生有效的输出(简单地说，就是生成完整的三进制树)。问题4描述了这种使用12个硬币的方法。

问题3 ：(两个锅秤的特殊情况)

我们给了5个硬币，一组4个硬币，其中一个硬币有缺陷(我们不知道它是较重还是较轻)，而一个硬币是真品。在最坏的情况下，需要多少个称重才能弄清奇怪的硬币(更重或更轻)?

将硬币分别标记为1、2、3、4和G(正品)。我们现在掌握了一些有关硬币纯度的信息。我们需要在分组中使用它。

我们最好将它们分组为[(G1，23)和(4)]。任何其他小组都无法生成完整的三进制树，请尝试一下。下图说明了该过程。

中例(G1)=(23)是不言而喻的，即1、2、3是真品，而第四枚硬币可以在另外的一次试验中算得更轻或更重。

树的左侧对应于情况(G1)<(23)。这有两种可能，要么1应该更轻，要么(2，3)应该更重。当下一个称重(2，3)达到平衡时，前者很明显，重量减轻了1。后面的情况可能是(2)<(3)产生3较重或(2)>(3)产生2较重。命名左分支上的叶节点以反映这些结果。

树的右侧对应于情况(G1)>(23)。这有两种可能，要么1较重，要么(2，3)较轻。当下一个权重(2，3)达到平衡时，前者很明显，得出的权重为1。后一种情况可能是(2)<(3)产生2较轻的硬币，或(2)>(3)产生3较轻的硬币。

在上述问题中，在任何可能的情况下，我们仅需要两次称重。我们能够使用两级完整三元树的所有结果。我们从(N + 1)= 5个硬币开始，其中N = 4，最后我们得到(2N +1)= 9个叶子。实际上，自从我们盯着5个硬币以来，我们应该有11个结果，其他2个结果又在哪里呢?这两个结果可以在树本身的根部声明(在第一次称重之前)，您能确定这两个结果是正确的吗?

如果我们观察该图，则在第一次称重之后，问题就减少为“我们知道三枚硬币，其中一个可以更轻(更重)，或者另外两个可以更重(更轻)”。这可以通过一次称重来解决(请参阅问题1)。

分析：给定(N + 1)个硬币，一个是真实的，其余N个可以是真实的，或者只有一个硬币有缺陷。所需的决策树应导致最少(2N +1)个叶子。由于总的可能结果为(2(N +1)+1)，因此权重(试验)的数量由三叉树的高度给出，k> = log ₃ [2(N +1)+1]。注意等号。

重新排列k和N，我们可以在k次试验中称重N <=(3 ^k – 3)/ 2个硬币的最大值。

问题4 ：(经典的12个硬币拼图)

您将获得两个泛公平的平衡。您有12个外观相同的硬币，其中一个硬币可能更轻或更重。在最低限度的试验中，如何找到奇异的硬币(如果有的话)，还可以确定有缺陷的硬币是更轻还是更重(在最坏的情况下)?

您想如何将它们分组?两件套还是三件套?显然，我们可以放弃分成两个相等组的选择。它不能导致最好的树。从以上两个示例中，如果我们可以揭示至少一个真正的硬币，则可以确保决策树可以以最佳方式使用。请记住对硬币进行分组，以使第一次称重至少可以显示一个真正的硬币。

让我们将硬币命名为1、2，…，8，A，B，C和D。我们可以将硬币分为3组，即(1234)，(5678)和(ABCD)。称量(1234)和(5678)。鼓励您在阅读程序时画出决策树。结果可以是三种方式，

1. (1234)=(5678)，两组相等。硬币缺陷可能属于(ABCD)组。
2. (1234)<(5678)，即第一组的体重小于第二组。
3. (1234)>(5678)，即第一组的体重比第二组重。

输出(1)可以解决问题3中给出的两个锅秤的特殊情况，再用两个称重来解决。我们知道(1234)和(5678)组是真实的，并且有缺陷的硬币可能位于(ABCD)中。从任何一个加权组中选择一个真正的硬币，然后按照问题3中的说明进行(ABCD)。

结果(2)和(3)很特殊。在这两种情况下，我们都知道(ABCD)是真实的。而且，我们知道一组硬币较轻，一组硬币较重。我们需要以这样一种方式将加权后的两组进行混洗，以使最终得到较小的高度决策树。

考虑第二个结果，其中( 1234 )<( 5678 )。 (1、2、3、4)中的任何硬币较轻或(5、6、7、8)中的任何硬币较重是可能的。首次称重后，我们发现了轻或更重的可能性。如果我们按照问题1的顺序进行，则不会生成最佳决策树。让我们将硬币( 123 5 )和( 4 BCD)作为新的组进行洗牌(可能会有不同的洗牌，它们也导致最小的称量)。如果我们再次对这两个组进行加权，则结果可能是三种方式：i)( 123 5 )<( 4 BCD)产生1，2，3中的一个更轻，类似于上述问题1，我们需要再加权一次， ii)( 123 5 )=( 4 BCD)产生6，7，8中的一个较重，这与上述问题1类似，我们需要再称重iii)( 123 5 )>( 4 BCD)产生5中的一个较重的硬币或较轻的硬币4个，但又要损失一重。

同样，我们也可以在另外两个权重中求解正确的子树(第三个结果，其中( 1234 )>( 5678 ))。

在最坏的情况下，我们能够以3磅的重量解决12个硬币难题。

几个有趣的难题：

1. 用N = 8和N = 13来解决问题4，每种情况下需要多少次最少试验?
2. 给定一个函数int weight(A []，B []) ，其中A和B是数组(不需要相等的大小)。该函数返回-1、0或1。如果A和B中所有元素的总和相等，则返回0；如果A B则返回1。给定一个包含12个元素的数组，除了所有元素外，其他元素均相等一。奇数元素可以与其他元素一样，小于或大于其他元素。编写一个程序，使用最少的weight()次来查找奇数元素(如果有)。
3. 在上学期间，您可能已经在科学实验室中看到了3分平衡。假设有3个平底锅(4个结局)和N个硬币，那么需要多少次最低限度的试验才能找出奇数硬币?

参考：

“ Levitin算法简介”一书的练习中也提供了类似的问题。具体阅读第5.5节和第11.2节(包括练习)。