将二叉树分成两半的方法数

在二叉树中，我们可以将其分成两个子树。但是，如果我们考虑将其分成两半的情况，我们需要计算方法数。

思路

假设二叉树的根节点有N个节点，我们需要将其分成大小相同的两个子树。首先，我们需要确定一条切割线，将树分为两半。因此，我们有N-1种选择。然后，我们需要将其中一个子树分成大小相同的两个子树。这可以重复第一步并考虑树的大小减半。因此，我们可以将总方法数表示为以下递归式：

C(N) = \sum_{i=0}^{N-1} C(i)*C(N-i-1)

其中，i是切割线左边子树的大小，C(i)是左子树分成两半的方法数，C(N-i-1)是右子树分成两半的方法数，因为左子树的大小为i，而根节点和切割线的大小为1。最终，我们需要计算C(N/2)，因为我们要将树分成大小相同的两半。

代码实现

Python

def count_ways(n):
    if n == 0:
        return 1
    res = 0
    for i in range(n):
        res += count_ways(i) * count_ways(n-i-1)
    return res

n = 6
print(count_ways(n // 2))

C++

#include<iostream>
using namespace std;

int countWays(int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        res += countWays(i) * countWays(n-i-1);
    }
    return res;
}

int main() {
    int n = 6;
    cout << countWays(n / 2) << endl;
    return 0;
}

时间复杂度

这种方法的时间复杂度为O(2^N)，因为对于每个节点，我们需要递归地计算其左子树和右子树。

参考文献

• "Algorithms" by Robert Sedgewick and Kevin Wayne (2011)
• "Introduction to Algorithms" by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2009)