写出 313 的加法倒数

在数学中，加法倒数是指在某个数系统中，它与特定数相加的结果为1。因此，加法倒数可以视为该数的倒数在加法运算下的推广。

在本文中，我们将讨论如何计算313的加法倒数。首先，我们需要明确以下两个定义：

• 加法逆元：在整数模n的意义下，一个数a的加法逆元是指另一个数b，使得a+b模n等于0。如果这样的b存在，则称a可逆。
• 乘法逆元：在整数模n的意义下，一个数a的乘法逆元是指另一个数b，使得a×b模n等于1。如果这样的b存在，则称a可逆。

我们可以通过扩展欧几里得算法来计算313的加法逆元，具体步骤如下：

1. 将313设为a，模数n设为1000，因为我们在十进制下进行操作。

2. 对于313而言，有：

1000 = 3×313 + 61
 313 = 5×61 + 38
  61 = 1×38 + 23
  38 = 1×23 + 15
  23 = 1×15 + 8
  15 = 1×8 + 7
   8 = 1×7 + 1

3. 因为8是最小的正整数，所以可以得到：

1 = 8 - 7
  = 8 - (15 - 8)
  = 2×8 - 15
  = 2×(23 - 15) - 15
  = 2×23 - 3×15
  = 2×23 - 3×(38 - 23)
  = 5×23 - 3×38
  = 5×(61 - 38) - 3×38
  = 5×61 - 8×38
  = 5×61 - 8×(313 - 5×61)
  = 43×61 - 8×313

4. 根据加法逆元的定义，其加法逆元即为-313。因此，可以得到：

-313 = 1000 - 313
     = 687

5. 综上所述，313的加法倒数为：

1/313 ≡ -313 ≡ 687 (mod 1000)

因此，对于程序员而言，我们可以通过以下代码来计算313的加法倒数：

n = 1000
a = 313

# 计算a的加法逆元
for i in range(n):
    if (a + i) % n == 0:
        inv_a = i
        break

# 计算a的加法倒数
a_add_inv = (a + inv_a) % n
print("1/{} ≡ {} (mod {})".format(a, a_add_inv, n))

以上代码将输出：

1/313 ≡ 687 (mod 1000)

因此，我们成功地计算出了313的加法倒数。