TOC中的图灵机

图灵机由 Alan Turing 于 1936 年发明，用于接受递归可枚举语言（由 Type-0 Grammar 生成）。

图灵机由无限长的磁带组成，可以在其上执行读写操作。磁带由无限单元组成，每个单元上都包含输入符号或称为空白的特殊符号。它还包含一个指向当前正在读取的单元格的头指针，它可以双向移动。

图：图灵机

TM 表示为 7 元组 (Q, T, B, ∑, δ, q0, F)，其中：

• Q是一组有限的状态
• T是磁带字母表（可以写在磁带上的符号）
• B是空白符号（每个单元格都用 B 填充，最初输入字母除外）
• ∑是输入字母表（作为输入字母表一部分的符号）
• δ是映射 Q × T → Q × T × {L,R} 的转移函数。根据其当前状态和当前磁带字母表（由头指针指向），它将移动到新状态，更改磁带符号（可能会或可能不会）并将头指针向左或向右移动。
• q0是初始状态
• F是最终状态的集合。如果达到 F 的任何状态，则接受输入字符串。

让我们为 L={0^n1^n|n>=1} 构造一个图灵机

• Q = {q0,q1,q2,q3} 其中 q0 是初始状态。
• T = {0,1,X,Y,B} 其中 B 表示空白。
• ∑ = {0,1}
• F = {q3}

转移函数δ 在表 1 中给出为：

插图

让我们看看这个图灵机是如何为 0011 工作的。最初 head 指向 0，它有下划线，状态是 q0，如下所示：

移动将是 δ(q0, 0) = (q1, X, R)。这意味着，它将进入状态 q1，将 0 替换为 X，并且 head 将向右移动：

移动将是 δ(q1, 0) = (q1, 0, R) 这意味着它将保持相同状态并且不更改任何符号，它将向右移动：

移动将是 δ(q1, 1) = (q2, Y, L) 这意味着它将移动到 q2 状态并将 1 更改为 Y，它将向左移动：

以同样的方式处理它，机器将到达状态 q3 并且 head 将指向 B，如下所示：

使用 move δ(q3, B) = halt，它将停止并接受。

笔记：

• 在非确定性图灵机中，对于给定的状态和磁带符号，可能有不止一个可能的移动，但非确定性 TM 不会增加任何功率。
• 每个非确定性 TM 都可以转换为确定性 TM。
• 在多磁带图灵机中，可以有多个磁带和相应的头指针，但它不会给图灵机增加任何动力。
• 每个多磁带 TM 都可以转换为单磁带 TM。

问题：单个磁带图灵机 M 有两个状态 q0 和 q1，其中 q0 是起始状态。 M的磁带字母是{0, 1, B}，它的输入字母是{0, 1}。符号 B 是用于指示输入字符串结束的空白符号。 M 的转移函数如下表所示。

该表解释如下。 q0 行第 1 列中的条目 (q1, 1, R) 表示如果 M 处于状态 q0 并且在当前磁带方格上读取 1，那么它在同一个磁带方格上写入 1，将其磁带头移动一个位置到右并转换到状态 q1。下列关于 M 的说法正确的是？

1. M 不会在 (0 + 1)+ 中的任何字符串上停止
2. M 不会在 (00 + 1)* 中的任何字符串上停止
3. M 在所有以 0 结尾的字符串上停止
4. M 在所有以 1 结尾的字符串上停止

解决方案：让我们看看机器是否在字符串'1' 上停止。初始状态为 q0，head 将指向 1，如下所示：

使用 δ(q0, 1) = (q1, 1, R)，它将移动到状态 q1，并且 head 将向右移动：

使用 δ(q1, B) = (q0, B, L)，它将移动到状态 q0，并且头部将向左移动：

它将一次又一次地以相同的方式运行，并且不会停止。

选项 D 说 M 在所有以 1 结尾的字符串上停止，但它不是为 1 停止。因此，选项 D 不正确。

让我们看看机器是否在字符串“0”上停止。初始状态为 q0，head 将指向 1，如下所示：

使用 δ(q0, 0) = (q1, 1, R)，它将移动到状态 q1，并且 head 将向右移动：

使用 δ(q1,B)=(q0,B,L)，它将移动到状态 q0，并且头部将向左移动：

它将一次又一次地以相同的方式运行，并且不会停止。

选项 C 说 M 在所有以 0 结尾的字符串上停止，但它不是为 0 停止。因此，选项 C 不正确。

选项 B 表示 TM 不会因任何字符串(00 + 1)* 而停止。但是 NULL 字符串是 (00 + 1)* 的一部分，TM 将停止 NULL 字符串。对于 NULL字符串，磁带将是，

使用 δ(q0, B) = halt，TM 将停止。由于 TM 因 NULL 而停止，因此该选项也是不正确的。
所以，选项（A）是正确的。