对 N 张卡进行 M 次操作后的最大可能和

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 cards，初始值均为 1，共进行 M 次操作，每次操作会把其中一张卡片的值加 1。求 M 次操作后所能获得的最大可能的卡片和。

解题思路

对于一张卡片，做 M 次操作后的最大值是 M+1。因此，对所有卡片做 M 次操作后的最大值即为 M*(N+1)。

但是，做操作有一个限制，即每次只能选择一张卡片进行操作。因此，在操作的过程中，我们要尽可能保证每张卡片的值相近，这样能够使得总和最大。

假设我们要把卡片的值都变成 K，那么需要进行 K-cards[i] 次操作。为了尽可能让每张卡片的值相近，我们要让所有卡片的值都变成 K，因此需要做的操作次数为 sum(K-cards[i])，其中 i 的范围是 1 到 N。

我们可以通过对 sum(K-cards[i]) 求导，找到使得导数为 0 的 K 值，这个 K 值即为最优解。求导的结果为：K = (M + sum(cards)) / N。

这个公式的意义为：每张卡片都要变成 K，因此所有卡片值的和为 N*K。而我们要在 M 次操作内完成这个过程，因此需要让每次操作能将所有卡片的值都加上 1，这也就是为什么公式中要加上 M。

代码实现

def max_card_sum(N, M, cards):
    # 求出最优解 K
    K = (M + sum(cards)) // N
    # 计算最终的卡片和
    return sum(min(K, card + M) for card in cards)

复杂度分析

时间复杂度：O(N)，其中 N 为卡片的数量。我们只需要对每张卡片求一次最终的值，因此时间复杂度为 O(N)。

空间复杂度：O(1)，我们只需要常数级别的空间来储存变量。