执行给定操作后的最大可能数组和

有一个整数数组nums和一个长度为n的乘数数组mult。在一系列操作后，我们可以得到一个最终的数组，这个数组的和是数组中所有数字的乘积。每个操作会从乘数数组的头部或尾部取出一个数，如果乘数数组是空的，那么这个数就被视为1。在数组的开头或结尾插入0，则数组中存在含有0的子数组，之后没有任何操作可以执行，因此乘积为0。

现在，你需要用这个数组来计算一个表达式的最大可能答案，这个表达式类似于a[0] * a[1] * ... * a[n-1] （乘积）。

请你返回这个最大可能结果，即执行若干次操作后，表达式的最大可能值。

解题思路

我们可以使用动态规划的思想来解决这个问题。设dp[i][j]表示已经取了前i+j个数，其中前i个取自nums，后j个取自mult，所得的最大可能数组和。则有以下状态转移方程：

if i == 0:
    dp[i][j] = dp[i][j-1] + nums[i] * mult[j-1]
elif j == 0:
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + nums[i-1] * mult[j]
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j] + nums[i-1] * mult[j], dp[i][j-1] + nums[i] * mult[j-1])

其中，当i=0时，说明前i个数全部来自mult数组，因此第i个数为1。当j=0时，说明前j个数全部来自nums数组，因此第j个数为1。

最后，返回dp[n][n-1]即可。

Python代码实现

def maxSum(nums: List[int], mult: List[int]) -> int:
    n = len(mult)
    dp = [[-float("inf")] * (n+1) for i in range(n+1)]
    dp[1][0] = nums[0] * mult[0]
    dp[0][1] = nums[-1] * mult[0]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + nums[i-1] * mult[i-1]
        dp[0][i] = dp[0][i-1] + nums[-1] * mult[i-1]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            if i+j < n:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j] + nums[i-1] * mult[i+j-1], dp[i][j-1] + nums[i+j-1] * mult[j-1])
    return dp[n-1][n]

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(n^2)。