数组上可能的乘以 3 或除以 2 操作的最大次数

在给定一个整数数组的情况下，我们希望找到在数组中选择某些元素的情况下可以进行乘以3或除以2操作的最大次数。

解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们可以定义状态 dp[i][j] 表示可以选择前i个元素，在进行操作的过程中，乘以3的次数减去除以2的次数为j时，最多可以进行操作的次数。转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j+count[i]] + count[i])

其中，count[i] 表示元素 i 可以进行乘以3或除以2操作的最大次数。我们可以通过以下方法求出：

while (a[i] % 3 == 0) {
    a[i] /= 3;
    count[i]++;
}
while (a[i] % 2 == 0) {
    a[i] /= 2;
    count[i]--;
}

我们可以在进行状态转移的过程中记录每个状态的路径，最终得到可以进行操作的元素。具体细节可以参考以下代码：

def max_operations(nums):
    n = len(nums)
    count = [0] * n
    for i in range(n):
        while nums[i] % 3 == 0:
            nums[i] /= 3
            count[i] += 1
        while nums[i] % 2 == 0:
            nums[i] /= 2
            count[i] -= 1

    dp = [[-float('inf')] * (2 * n + 1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][n] = 0

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(-n, n+1):
            if j+count[i-1] >= -n and j+count[i-1] <= n:
                dp[i][j+n] = max(dp[i-1][j+count[i-1]+n]+count[i-1], dp[i-1][j+n])
    
    ans, index = -1, 0
    for i in range(n+1):
        if dp[n][i] > ans:
            ans = dp[n][i]
            index = i
    
    res = []
    for i in range(n, 0, -1):
        if dp[i][index+n] == dp[i-1][index-count[i-1]+n]+count[i-1]:
            res.append(i - 1)
            index = index - count[i-1]
    
    return {"max_count": ans, "selected_elements": res[::-1]}

总结分析

通过以上代码，我们可以求出在给定整数数组的情况下可以进行乘以3或除以2操作的最大次数，同时也可以得到可以进行操作的元素。该问题的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

该算法可以应用于一些涉及到动态规划的问题，相比于暴力枚举，动态规划具有时间复杂度小的优点。