矩阵中从上到下的最大求和路径

在计算机科学中，动态规划是一种将复杂问题分解成小问题来解决的算法，它使用递归的做法将问题划分成子问题，最终将子问题的解整合起来得出问题的解。

矩阵中从上到下的最大求和路径问题即为一种应用动态规划解决问题的例子。

问题描述

给定一个二维数组，数组中包含一些数字（有正数、有负数），从矩阵的第一行开始，寻找一条从上往下的路径，该路径的和为最大值。

路径必须按照以下两种要求之一：

1. 每个元素必须沿着下一行的对应元素往下走，即若当前位置为 $(i, j)$，下一个元素位置为 $(i+1, k)$，则 $k$ 的取值范围为 $j, j-1, j+1$。

2. 对于第一行上的任意位置 $(1,k)$，路径必须从这个位置开始。

解决方案

分析

从上到下的最大求和路径问题可以使用动态规划解决。

首先，定义 $dp_{i,j}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 个元素到底部最大的路径和，显然，$dp_{i,j}$ 的值可以由下一行的三个元素状态转移而来：$dp_{i+1,j-1},dp_{i+1,j},dp_{i+1,j+1}$。因此，我们可以先计算最后一行的 $dp$ 值，然后根据这些值计算倒数第二行的 $dp$ 值，以此类推，最终得到第一行的 $dp$ 值。

接下来，我们定义 $maxSum$ 为矩阵中从上到下的最大求和路径值，计算方法为 $maxSum = max{dp_{1,k}}$，其中 $k$ 的取值范围为 $[1,n]$（$n$ 为矩阵的列数）。

代码实现

下面是用 Python 代码实现从上到下的最大求和路径问题的解法：

def maxSum(matrix):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    dp = matrix[rows - 1]
    for i in range(rows - 2, -1, -1):
        for j in range(cols):
            dp[j] = matrix[i][j] + max(dp[max(j-1,0)], dp[j], dp[min(j+1,cols-1)])
    return max(dp)

matrix = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]
print(maxSum(matrix)) // 输出 21

在上面的代码中，我们首先定义了矩阵的行数和列数，然后初始化 $dp$ 数组为矩阵的最后一行。接着，我们从倒数第二行开始，分别计算从当前位置到底部的最大路径和 $dp_{i,j}$，并将结果存入 $dp$ 数组中。最后，我们返回 $dp$ 数组中的最大值作为从上到下的最大求和路径值。

总结

矩阵中从上到下的最大求和路径问题可以使用动态规划算法解决。在实现时，需要先计算最后一行的 $dp$ 值，然后根据这些值计算倒数第二行的 $dp$ 值，以此类推，最终得到第一行的 $dp$ 值。最后，返回 $dp$ 数组中的最大值作为从上到下的最大求和路径值。