矩阵从上到下的最大求和路径

在计算机科学中，矩阵由行和列组成，可以被用来表示数据表格、图像、地图等等。对于一个给定的矩阵，我们可以使用动态规划的技术来计算从矩阵的顶部到底部的最大求和路径。这种技术被广泛应用于图像处理、机器学习、自然语言处理等领域。

问题描述

给定一个 $n \times m$ 的矩阵 $M$，其中每个元素表示一个数字，计算从矩阵的顶部到底部的最大求和路径。在每个步骤，你可以选择向下走一行，或者向右下方斜着走一格。

例如，对于以下矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

从顶部到底部的最大求和路径为 1 -> 4 -> 7 -> 8 -> 9，路径上的数字之和为 29。

解法

我们可以使用动态规划的技巧来解决这个问题。我们维护一个 $n \times m$ 的数组 $S$（也就是状态数组），其中 $S_{i,j}$ 表示从顶部到 $M_{i,j}$ 的最大求和路径的和。我们需要初始化 $S_{0,j}$ 为 $M_{0,j}$。

接下来，对于 $S_{i,j}$，我们可以根据其上方 $S_{i-1,j}$、右上方 $S_{i-1,j+1}$、和左上方 $S_{i-1,j-1}$ 三个元素来计算。我们只需要取这三个元素中的最大值，然后加上 $M_{i,j}$ 就可以得到 $S_{i,j}$。

$$S_{i,j} = M_{i,j} + max(S_{i-1,j}, S_{i-1,j-1}, S_{i-1,j+1})$$

最终答案就是 $S_{n-1,j}$ 中的最大值。

下面是使用 Python 实现的代码：

def find_max_path(matrix):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    
    S = [[0] * cols for _ in range(rows)]
    for j in range(cols):
        S[0][j] = matrix[0][j]
    
    for i in range(1, rows):
        for j in range(cols):
            if j == 0:
                S[i][j] = matrix[i][j] + max(S[i-1][j], S[i-1][j+1])
            elif j == cols-1:
                S[i][j] = matrix[i][j] + max(S[i-1][j], S[i-1][j-1])
            else:
                S[i][j] = matrix[i][j] + max(S[i-1][j], S[i-1][j-1], S[i-1][j+1])
    
    return max(S[-1])

使用上述代码，我们可以得到 $29$，就是前文所述的例子中顶部到底部最大求和路径的和。

时间复杂度

矩阵中有 $nm$ 个元素，我们需要计算所有的 $S_{i,j}$。每个 $S_{i,j}$ 需要计算其上方、右上方、和左上方的三个元素，因此总共需要计算的次数为 $3nm$。

在时间复杂度上，这个算法的最坏情况下是 $O(nm)$ 的。