二维平面中 N 个点之间的锤击距离

在计算机图形学和计算几何领域中，我们经常需要计算二维平面中 N 个点之间的距离。在本篇文章中，我们将介绍一种常用的方法——锤击距离。

算法原理

锤击距离是建立在距离平方的基础上的。对于给定的两个点 $p_i(x_i, y_i)$ 和 $p_j(x_j, y_j)$，我们将它们的距离平方定义为：

$$ d^2_{ij} = (x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 $$

通过这个公式，我们可以很容易地计算两点间的距离。

但是，在求解大量点对距离时，使用公式直接计算会产生大量的重复计算，导致计算效率很低。因此，我们需要一种更加高效的方法。

锤击距离算法可以将距离的计算分为两个部分：

1. 点对之间的欧几里得距离平方的计算
2. 点到点集的最小距离平方的计算

如果点的数量为 N，使用公式直接计算两两点之间的距离需要计算 N(N-1)/2 次，而使用锤击距离算法则只需要计算 N 次。

算法步骤

假设有 N 个点，我们的算法步骤如下：

1. 将所有点按照横坐标从小到大的顺序排序。

2. 将所有点按照纵坐标从小到大的顺序排序。

3. 在所有点中选取一个锤击点，比如选取横坐标最小的点 $p_0$。这个点不需要和其他点计算距离，因此可以被直接舍去。

4. 对于点 $p_i$，其最小的距离平方可以通过以下公式计算得到：

   $$ \min{d^2_{ij}} = \min\left{\begin{matrix} {((x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2)}\ {((x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i+1})^2)}\ {((x_i - x_{i+1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2)}\ {((x_i - x_{i+1})^2 + (y_i - y_{i+1})^2)} \end{matrix}\right. $$

   其中，$(x_{i-1}, y_{i-1})$、$(x_{i+1}, y_{i-1})$、$(x_{i-1}, y_{i+1})$ 和 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 分别表示 $p_i$ 左上、右上、左下和右下的点。

5. 对于所有点的最小距离平方取平方根，即可得到距离。

代码实现

使用 Python 语言实现锤击距离算法，代码如下：

import math

def hammertime_distance(points):
    """
    计算点集中所有点之间的锤击距离
    :param points:点集，每个元素是一个二元组 (x, y)
    """
    n = len(points)
    points.sort()  # 按照横坐标排序
    d = [0] * n
    for i in range(1, n):
        d[i] = (points[i][0] - points[i-1][0]) ** 2
    d.sort()
    mid = n // 2  # 取中位数
    a, b = math.sqrt(d[mid-1]), math.sqrt(d[mid])
    dmax = max(a, b)
    points.sort(key=lambda p: p[1])  # 按照纵坐标排序
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if abs(points[j][1] - points[i][1]) >= dmax:
                break
            dist = (points[i][0] - points[j][0]) ** 2 + (points[i][1] - points[j][1]) ** 2
            dmax = max(dmax, math.sqrt(dist))
    return dmax

总结

锤击距离算法虽然比直接使用公式计算距离要复杂一些，但它可以大大减少重复计算，提高计算效率。对于大规模的点集，锤击距离算法可以帮助我们更快地求解点之间的距离。