问题概述

门(GATE)-CS-2004-问题11是计算机科学与工程门(GATE)考试中的一道编程问题。本问题要求求解一个二维数组中的最大子数组和。

问题解决思路

暴力法

暴力法是最容易想到的一种解决思路。具体来说，我们可以枚举数组中的每个子数组（即起点和终点），对该子数组进行求和并记录最大值，最终得到的最大和即为所求。

代码实现如下：

def max_subarray_sum(arr):
    max_sum = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            cur_sum = sum(arr[i:j+1])
            max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    return max_sum

这个算法的时间复杂度为$O(n^3)$，显然过于低效。

动态规划法

动态规划法是一种比较高效的解决思路。具体来说，我们可以定义一个大小为n的辅助数组dp，其中每个元素dp[i]表示以位置i结尾的最大子数组和。那么，整个数组的最大和即为max(dp)。

考虑如何填充数组dp。对于位置i，我们有两种选择：

1. 将它加入上一个子数组中。这种情况下，当前子数组的最大和就是dp[i-1] + arr[i]。
2. 以i为结尾新开一个子数组。这种情况下，当前子数组的最大和就是arr[i]。

取两种情况中较大的一种即可。初始状态为dp[0] = arr[0]。

代码实现如下：

def max_subarray_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n
    dp[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1]+arr[i], arr[i])
    return max(dp)

这个算法的时间复杂度为$O(n)$，是一种高效的解决思路。

总结

本文介绍了两种解决二维数组最大子数组和问题的方法：暴力法和动态规划法。暴力法的时间复杂度为$O(n^3)$，效率较低。动态规划法的时间复杂度为$O(n)$，效率较高。如果您遇到了二维数组最大子数组和问题，建议采用动态规划法进行解决。