门 | GATE-CS-2004 | 问题 9

本题涉及对 boolean 函数的推导，要求了解 boolean 代数及其基本定理。需要根据提供的真值表推导出该布尔函数的表达式。

题目描述

给定下列布尔函数的真值表，求其表达式。

| A | B | C | D | F | | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

解题思路

本题需要我们求解给定布尔函数的表达式。我们可以重点关注每一行中 F 的取值情况，根据其值推导出适当的布尔表达式。

在推导之前，我们先来回顾一下关于 boolean 代数的基本定理：

与或律

$X+X=X$

$X+Y=Y+X$

$(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$

$X+Y+X.(Y+Z)=X+Y$

分配律

$X.(Y+Z)=X.Y+X.Z$

$X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z)$

通过以上定理，我们可以结合所给的真值表，推导出如下的布尔表达式：

$F=\bar{A}.\bar{D}+\bar{B}.\bar{D}+\bar{C}.\bar{D}.A+B.\bar{C}.A+ B.\bar{D}.\bar{C}+A.\bar{C}.\bar{D}+A.B.D$

答案

据此，我们可以得到该函数的表达式：

F = (!A && !D) || (!B && !D) || (!C && !D && A) || (B && !C && A) || (B && !D && !C) || (A && !C && !D) || (A && B && D)