抗衍生物

导数是测量变化率的方法，给定函数f(x)，该函数的导数计算该函数函数在特定点的变化率。有时存在导数可用但没有给出关于函数的信息的情况。在这种情况下，反衍生品就派上用场了。了解使用反导数从其导数生成函数的概念和方法变得至关重要。让我们详细看看这个概念。

反导数

让我们考虑一个函数f(x) = x ² ，在对这个函数求微分时，输出是另一个函数g(x) = 2x。反导数应该在给定另一个函数g(x) 的情况下生成函数f(x)。请注意，在计算导数时，变量“x”的指数减少了 1，因此在反向过程的情况下，指数将增加。此外，在另一个函数h(x) = x ² + 2 的情况下，这个函数的导数仍然是 g(x)。由于常数在微分时被抵消，我们可以得出结论，对于任何函数f(x)，可以有无限多个具有不同常数值的反导函数。这意味着，

因为，g(x) = 2x，反导数将是，

f(x) = x ² + C，其中 C 是一个常数。

A function F is called anti-derivative of the function, if 

F'(x) = f(x) 

For all x in the domain of f. 

If F(x), is the anti-derivative of f(x) then the most general anti-derivative of f(x) is called indefinite integral. 

∫f(x)dx = F(x) + C, C is any constant. 

Here the symbol ∫ denotes the anti-derivative operator, it is called indefinite integrals.

不定积分的性质

在计算函数的反导数时，有一些重要的属性会派上用场。

1. ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx，这里的“k”是任意常数。
2. ∫-f(x)dx = -∫f(x)dx，这个性质可以被认为是前一个性质 k = -1 的特例。
3. ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。这个性质表明两个函数之和的积分等于这两个函数的积分之和。

Note: Keep in my mind that property 3 is only applicable for subtraction and summation. It cannot and should not be extended up to multiplication and division operations. 

计算不定积分

通过考虑逆微分过程，并不总是可以仅仅猜测任何函数的积分。计算不定积分需要形式化方法或公式。

考虑 x ⁿ形式的函数，该函数的反导数由下式给出：

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$除非 n = -1。

因此，集成此类函数的一般规则是将指数值增加 1，然后将函数除以该值。下表代表了一些标准函数及其积分。

Function	Integral
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
sec2(x)	tan(x) + C
ex	ex
$\frac{1}{x}$	ln(x) + C

让我们看看这些概念的一些示例问题。

示例问题

问题 1：求给定函数的积分，

f(x) = 2x + 3

解决方案：

Using the integral formula for the functions of the type of xⁿ. 

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Given, f(x) = 2x + 3

$\int(2x + 3)dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(2x + 3)dx$

⇒$\int 2xdx + \int3dx$

⇒$2\int xdx + 3\int 1dx$

⇒$2\frac{x^2}{2} + 3x + C$

⇒ x² + 3x + C

问题 2：求给定函数的积分，

f(x) = x ² – 3x

解决方案：

Using the integral formula for the functions of the type of xⁿ. 

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Given, f(x) = x² – 3x

$\int(x^2 - 3x)dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(x^2 - 3x)dx$

⇒$\int x^2dx - 3\int xdx$

⇒$\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C$

问题 3：求给定函数的积分，

f(x) = x ³ + 5x ² + 6x + 1

解决方案：

Using the integral formula for the functions of the type of xⁿ. 

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Given, f(x) = x³ + 5x² + 6x + 1

$\int(x^3 + 5x^2 + 6x + 1)dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(x^3 + 5x^2 + 6x + 1)dx$

⇒$\int x^3dx + \int 5x^2dx + \int 6xdx + \int 1dx$

⇒$\frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3}+ 3x^2 + x$

问题 4：求给定函数的积分，

f(x) = sin(x) – cos(x)

解决方案：

Using the integral formula for the trigonometric function given below.

Given, f(x) = sin(x) – cos(x)

$\int(sin(x) - cos(x))dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(sin(x) - cos(x))dx$

⇒$\int sin(x)dx - \int cos(x)dx$

⇒$-cos(x) - sin(x) + C$

问题 5：求给定函数的积分，

f(x) = 2sin(x) + sec ² (x) + 7e ^x

解决方案：

Using the integral formula for the trigonometric function given below.

Given, f(x) = 2sin(x) + sec²(x) + 7e^x

$\int(2sin(x) + sec^2(x) + 7e^x)dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(2sin(x) + sec^2(x) + 7e^x)dx$

⇒$\int 2sin(x)dx + \int sec^2(x)dx + \int 7e^xdx$

⇒$2\int sin(x)dx + \int sec^2(x)dx + 7\int e^xdx$

⇒$-2cos(x) + tan(x)dx + 7e^x + C$

问题 6：求给定函数的积分，

f(x) = $\frac{x - 3}{x}$

解决方案：

Using the integral formula for the functions of the type of xⁿ. 

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Given, f(x) = $\frac{x - 3}{x}$

$\int(\frac{x - 3}{x})dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int(1 - \frac{3}{x})dx$

⇒$\int1dx - \int \frac{3}{x}dx$

⇒ x – 3ln(x) + C

问题 7：求给定函数的积分，

f(x) = x ² – 4x + 4

解决方案：

Using the integral formula for the functions of the type of xⁿ. 

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Given, f(x) = x² – 4x + 4

$\int(x^2 - 4x + 4)dx$

Splitting the function using the property 3. 

$\int x^2dx - \int 4xdx + \int 4dx$

⇒$\int x^2dx - 4\int xdx + 4\int dx$