第 11 类 RD Sharma 解决方案 – 第 30 章衍生物 – 练习 30.3

问题 1. 对 x 微分 f(x) = x ⁴ – 2sinx + 3cosx。

解决方案：

Given that, f(x) = x⁴ – 2sinx + 3cosx

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(x⁴ – 2sinx + 3cosx) / dx

⇒ d(x⁴)/dx – 2.d(sinx)/dx + 3.d(cosx)/dx

⇒ 4x³ – 2cosx – 3sinx.

问题 2. 对 x 微分 f(x) = 3 ^x + x ³ + 3 ³ 。

解决方案：

Given that, f(x) = 3^x + x³ + 3³

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(3^x + x³ + 3³) / dx

⇒ d(3^x)/dx + d(x³)/dx + d(3³)/dx

⇒ 3^x log3 + 3x² + 0    [As we know, d(a^x)/dx = a^x loga]

⇒ 3^x log3 + 3x²

问题 3. 对 x 微分 f(x) = x ³ /3 – 2√x + 5/x ² 。

解决方案：

Given that, f(x) = x³/3 – 2√x + 5/x²

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(x³/3 – 2√x + 5/x²) / dx

⇒ 1.d(x³)/3dx – 2d(√x)/dx + 5d(x^-2)/dx

⇒ 1/3.3x² – 2.1/2.1/√x + 5(-2) x^-3

⇒ x² – x^-1/2 – 10x^-3

⇒ x² – 1/√x – 10/x³

问题 4. 对 x 微分 f(x) = e ^xloga + e ^alogx + e ^aloga 。

解决方案：

Given that, f(x) = e^xloga + e^alogx + e^aloga

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(e^xloga + e^alogx + e^aloga)

⇒ d(e^xloga)/dx + d(e^alogx)/dx + d(e^aloga)/dx

⇒ e^xloga.loga + e^alogx.a/x + 0       [As we know, e^aloga is constant]

⇒ loga.e^xloga + a/x.e^alogx

⇒ loga.a^x + a/x x^a                [Here, a^x can be written as a e^xloga]

⇒ a^x loga + ax^a-1

问题 5. 对 x 微分 f(x) = (2x ² + 1)(3x + 2)。

解决方案：

Given that, f(x) = (2x² + 1)(3x + 2)

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(2x² + 1)(3x + 2)/dx

⇒ (3x + 2)d(2x² + 1)/dx + (2x² + 1)d(3x + 2)/dx     

⇒ (3x + 2)(4x+0) + (2x² + 1)(3+ 0)

⇒ (12x² + 8x + 6x² + 3)

⇒ 18x² + 8x + 3.

问题 6. 对 x 求微分 f(x) = log ₃ x + 3log _e x + 2tanx。

解决方案：

Given that, f(x) = log₃x + 3log_ex + 2tanx

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d( log₃x + 3log_ex + 2tanx)/dx

⇒ 1/log₃ d(logx)/dx + 3.d(log_ex)/dx + 2.d(tanx)/dx

⇒ 1/log₃ × 1/x + 3/x + 2sec²x

⇒ 1/xlog₃ + 3/x + 2sec²x

问题 7. 对 x 微分 f(x) = (x + 1/x) (√x + 1/√x)。

解决方案：

Given that,  f(x) = (x + 1/x) (√x + 1/√x)

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d((x + 1/x) (√x + 1/√x))/dx

⇒ (x + 1/x) d(√x + 1/√x)/dx  + (√x + 1/√x) d(x + 1/x)/dx  

⇒ (x + 1/x) (1/2√x – 1/2x^3/2) +  (√x + 1/√x) (1 – 1/x²)

⇒ {x/(2√x) – x/(2x^3/2) + 1/2(x^3/2)- 1/(2x^5/2)} + {√x – √x/x² + 1/√x – 1/x^5/2}

⇒ (1.√x/2 – 1/2√x + 1/2x^3/2 – 1/2x^5/2 + √x – 1/x^3/2 + 1/√x – 1/x^5/2)

⇒ (3√x/2 + √x/2 – 1/2x^3/2 – 3/2x^5/2)

⇒ 3x^1/2/2 + x^-1/2/2 – x^-3/2/2 – 3x^-5/2/2

问题 8. 对 x 微分 f(x) = (√x + 1/√x) ³ 。

解决方案：

Given that, f(x) = (√x + 1/√x)³ 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(√x + 1/√x)³ /dx

⇒ d(x^3/2 + 3x.1/x + 3√x.1/x + 1/x^3/2)/dx      [As we know that, (a + b)³ = a²+ 3a²b + 3ab² + b³]

⇒ d(x^3/2 + 3x^1/2 + 3x^-1/2 + x^-3/2)/dx

⇒ 3x^1/2/2 + 3x^-1/2/2 + 3.(-1/2).x^-3/2 – 3x^-5/2/2

⇒ 3x^1/2/2 – 3x^-5/2/2 + 3x^-1/2/2 – 3x^-3/2/2.

问题 9. 对 x 微分 f(x) = 2x ² + 3x + 4 /x。

解决方案：

Given that, f(x) = 2x² + 3x + 4 /x 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(2x² + 3x + 4 /x) / dx 

⇒d(2x²/x + 3x/x + 4/x) /dx 

⇒ d(2x + 3 + 4x^-1) / dx

⇒ 2- 4/x²

问题 10. 对 x 微分 f(x) = (x ³ + 1) (x – 2) / x ² 。

解决方案：

Given that, f(x) = (x³+ 1) (x – 2) / x²

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d{(x³ + 1) (x – 2) / x²} / dx

⇒ d{(x⁴ – 2x³ +x – 2)/ x²} / dx

⇒ d(x² – 2x + x^-1 – 2x^-2) / dx

⇒ d(x²)/dx – 2d(x)/dx + d(x^-1)/dx – 2d(x^-2)/dx

⇒ 2x – 2 – 1/x² + 4/x³

⇒ 2x – 2 – 1/x² + 4/x³

问题 11. 对 x 微分 f(x) = acosx + bsinx + c / sinx。

解决方案：

Given that, f(x) = acosx + bsinx + c / sinx

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(acosx + bsinx + c / sinx) /dx

⇒ a.d(cosx)/dx(sinx) + b.d(1)/dx + c.d/dx(sinx)

⇒ a(-cosec²x) + 0 + c(-cosecx.cotx)                                             

⇒ -acosec²x – c.cosecx.cotx

问题 12. 对 x 微分 f(x) = (2secx + 3cotx – 4tanx)。

解决方案：

Given that, f(x) = (2secx + 3cotx – 4tanx) 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(2secx + 3cotx – 4tanx) / dx

⇒ 2.d(2secx)/dx + 3.d(cotx)/dx – 4.d(tanx)/dx

⇒ 2secxtanx – 3cosec²x – 4sec²x

问题 13. 对 x 微分 f(x) = (a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 + a ₂ x ^n-2 + ……… + a _n-1 x + a _n )。

解决方案：

Given that, f(x) = (a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2  + ……… + a_n-1x + a_n)

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ……… + a_n-1x + a_n) / dx

⇒ a₀d(x)ⁿ/dx + a₁d(x)^n-1/dx + a₂d(x)^n-2/dx + ………. + a_n-1d(x)/dx + a_nd(1)/dx

⇒ na₀x^n-1 + (n-1)a₁x^n-2 + ………. + a_n-1 + 0

⇒ na₀x^n-1+ (n-1)a₁x^n-2 + ……….. + a_n-1

问题 14. 对 x 微分 f(x) = 1/sinx + 2 ^x+3 + 4/logx ³ 。

解决方案：

Given that, f(x) = 1/sinx + 2^x+3 + 4/logx³ 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d/dx (1/sinx + 2^x+3 + 4/logx³)

⇒ d(cosecx)/dx + 2³d(2^x)/dx + 4/log3 × d(logx)/dx        [As we know that, log_ba = loga/logb]

⇒ -cosecx.cotx + 8 × 2log2 + 4/log3 × 1/x           [Since, d(a^x)/dx = a^xloga]

⇒ -cosecx.cotx + 2^x+3log2 + 4/xlog3

问题 15. 对 x 微分 f(x) = (x + 5)(2x – 1) / x。

解决方案：

Given that, f(x) = (x + 5)(2x – 1) / x

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d/dx {(x + 5)(2x² – 1)/x}

⇒ d/dx (2x³ + 10x² – x – 5 / x)

⇒ d(2x² + 10x – 1 – 5x^-1)/dx

⇒ 2d(x²)/dx + 10d(x)/dx – d(1)/dx – 5d(x^-1)/dx

⇒ 2.2x + 10 – 0 + 5/x²

⇒ 4x + 10 + 5/x² 

问题 16. 对 x 微分 f(x) = log(1/√x) + 5x ^a – 3a ^x + 3√x ² + 6( ⁴ √x ^-3 )。

解决方案：

Given that, f(x) = log(1/√x) + 5x^a – 3a^x + 3√x² + 6(⁴√x^-3) 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d/dx {log(1/√x) + 5x^a – 3a^x + ³√x² + 6(⁴√x^-3)}

⇒ d(log(1/√x)/dx + 5d(x^a)/dx – 3(a^x) + d(³√x²)/dx + 6d(⁴√x^-3)/dx

⇒ -1/2.1/x + 5ax^a-1 – 3a^xloga + 2x^-1/3/3 + 6x^-7/4(-3/4)

⇒ -1/2x + 5ax^a-1 – 3a^xloga + 2x^-1/3/3 – 9x^-7/4/2

问题 17. 对 x 微分 f(x) = cos(x + a)。

解决方案：

Given that, f(x) = cos(x + a)

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d{cos(x + a)}/dx

⇒ d(cosx.cosa – sinx.sina)/dx

⇒ cosa.d(cosx)/dx – sina.d(sinx)/dx

⇒ cosa(-sinx) – sina(cosx)

⇒ cosx.sina + sinx.cosa

⇒ -(sinx.cosa + cosx.sina)

⇒ -sin(x + a)

问题 18. 对 x 微分 f(x) = cos(x – 2)/sinx。

解决方案：

Given that, f(x) = cos(x – 2)/sinx

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d{cos(x – 2)/sinx)/dx

⇒ d{(cosx.cos2 + sinx.sin2)/sinx} / dx

⇒ cos2.d(cotx)/dx + sin2.d(1)/dx 

⇒ -cos2.cosec²x + 0

⇒ -cosec²x.cos2

问题 19. 如果 y = {sin(x/2) + cos(x/2)}，在 x = π/6 处找到 dy/dx。

解决方案：

Given that, y = {sin(x/2) + cos(x/2)}  …..(1)

Find that dy/dx at x = π/6

Now, differentiate eq(1) on both side w.r.t. x, we get

dy/dx = d{sin(x/2) + cos(x/2)}/dx

⇒ d{sin²(x/2) + cos²(x/2) + 2sin(x/2).cos(x/2)}/dx

⇒ d(1 + sinx)/dx       [As we know that sin²x + cos²x = 1]

⇒ 0 + cosx             [As we know that sin²x= 2sinx.cosx]

⇒ cosx

Now put x = π/6

⇒ cos(π/6)

⇒ √3/2

问题 20。如果 y = (2 – 3cosx / sinx)，在 x = π/4 处找到 dy/dx。

解决方案：

Given that, y = (2 – 3cosx / sinx)  ….(1)

Find that dy/dx at x = π/4

Now, differentiate eq(1) on both side w.r.t. x, we get

dy/dx = d(2 – 3cosx / sinx) / dx

⇒ d(2cosecx – 3cotx) / dx

⇒ 2d(cosecx)/dx – 3d(cotx)/dx

⇒ -2cosecx.cotx + 3cosec²x

Now put x = π/4

⇒ -2cosec(π/4).cot(π/4) + 3cosec²(π/4)

⇒ -2√2 – 1 + 3.2

⇒ -2√2 + 6

⇒ 6 – 2√2

问题 21. 求曲线 f(x) = 2x ⁶ + x ⁴ – 1 在 x = 1 处的切线斜率。

解决方案：

Given that f(x) = 2x⁶ + x⁴ – 1 at x = 1.

Find the slope of the tangent at a point x = 1

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ d(2x⁶ + x⁴ -1)/dx

⇒ 2dx⁶/dx + dx⁴/dx – d.1/dx

⇒ 12x⁵+ 4x³ – 0

⇒ 12x⁵ + 4x³

Now put x = 1

⇒ 12(1)⁵ + 4(1)³

⇒ 12 + 4

⇒ 16

Hence, the slope of the tangent to the curve f(x) at x = 1 is 16.
 

问题 22. 如果 y = √x/a + √a/x，证明 2xy.dy/dx = (x/a – a/x)

解决方案：

Given that, y = √x/a + √a/x

Prove that 2xy.dy/dx = (x/a – a/x)

Proof:

dy/dx = d(√x/a + √a/x)/dx

⇒ 1/√a.d(√x)/dx + √a.d(1/√x)/dx

⇒ 1/√a.1/2√x + √a(-1/2).1/x√x

⇒ 1/2x{√x/a + (-√a/x)}

⇒ 2x.dy/dx = √x/a – √a/x

Multiplying both side by y = √x/a + √a/x, we get

⇒ 2xy.dy/dx = (√x/a – √a/x)(√x/a + √a/x)

⇒ (x/a – a/x)

Hence proved.

问题 23. 求函数f(x) = x ⁴ – 2x ³ + 3x ² + x + 5 相对于 x 的变化率。

解决方案：

Given that, f(x) = x⁴ – 2x³ + 3x² + x + 5

Now, differentiate w.r.t. x, we get

df(x)/dx = d(x⁴ – 2x³ + 3x² + x + 5) / dx

⇒ 4x³ – 6x² + 6x + 1.

问题 24. 如果 y = 2x ⁹ /3 – 5x ⁷ /7 + 6x ³ – x，在 x = 1 处找到 dy/dx。

解决方案：

Given that, y = 2x⁹/3 – 5x⁷/7 + 6x³ – x   …..(1)

Find that dy/dx at x = 1

Now, differentiate eq(1) on both side w.r.t. x, we get

dy/dx = d(2x⁹/3 – 5x⁷/7 + 6x³ – x) / dx

⇒ 2/3dx⁹/dx – 5/7dx⁷/dx + 6dx³/dx – dx/dx

⇒ 2/3.9x⁸ – 5/7.7x⁶ + 18x² – 1

⇒ 6x⁸ – 5x⁶ + 18x² – 1.

Put x = 1

⇒ 6(1)⁸ – 5(1)⁶ + 18(1)² – 1

⇒ 6 – 5 + 18 – 1

⇒ 18

问题 25. 如果 f(x) = λx ² + μx + 12, f'(4) = 15 且 f'(2) = 11，则求 λ 和 μ。

解决方案：

Given that, f(x) = λx² + μx + 12  …..(1)

f'(4) = 15 and f'(2) = 11

Find: the value of λ and μ.

Now, differentiate eq(1) w.r.t. x, we get

f(x) = λx² +μx + 12

f'(x) = 2λx + μ

Now put f'(4) = 15, we get

⇒ 2λ(4) + μ = 15

⇒ 8λ + μ = 15   ……………(1)

Now put, f'(2) = 11 

⇒ 2λ(2) + μ = 11

4λ + μ = 11     …………… (2)

From equation (1) and (2), we get

⇒ 4λ = 4

⇒ λ = 1

Now put value of λ in equation (1), we get 

⇒ 8(1) + μ = 15

⇒ μ = 7

Hence, the value of λ = 1 and μ = 7

​  

问题 26. 对于函数f(x) = x ¹⁰⁰ /100 + x ⁹⁹ /99 + ………….. + x ² /2 + x + 1。

证明 f'(1) = 100f'(0)。

解决方案：

Given that, f(x) = x¹⁰⁰/100 + x⁹⁹/99 + ………….. + x²/2 + x + 1 

Now, differentiate w.r.t. x, we get

⇒ f'(x) = x⁹⁹ + x⁹⁸ + ………… + x + 1 + 0  ……………..(1)

From equation (1),

⇒ f'(1) = 1 + 1 + …………….(100 times)

 ⇒ 100

Again,

⇒ f'(0) = 0 + 0 + ………….. + 1

⇒ 1

Now,

⇒ f'(1) = 100 

⇒ 100 × 1 = 100 × f'(0)

⇒ f'(1) = 100f'(0)

Hence Proved