加泰罗尼亚语数字的应用

背景 ：加泰罗尼亚语数字使用以下公式定义：
$C_{n} = (2n)!/(n+1)!n! = \prod^{n}_{k=2} \frac{n+k}{k} for_ n >= 0$
加泰罗尼亚语数字也可以使用以下递归公式进行定义。
$C_{0} = 1 C_{n+1} = \sum ^{n} _{i=0} C_{i}C_{n-i} for_ n>=0$
n = 0、1、2、3，…的前几个加泰罗尼亚数字是1、1、2、5、14、42、132、429、1430、4862 …

有关实现第n个加泰罗尼亚语编号的信息，请参考此内容。

应用范围：

1. 带有n个键的可能的二进制搜索树的数量。
2. 包含n对正确匹配的括号的表达式的数量。对于n = 3，可能的表达式是((()))，()(())，()()()，(())()，(()())。
3. 通过连接顶点将n + 2边的凸多边形分割成三角形的方式的数量。
   
4. 具有n + 1个叶子的完整二叉树的数量(如果每个顶点有两个子代或没有子代，则有根的二叉树已满)。
5. 不同的未标记二叉树的数量可以有n个节点。
6. 从左下(即(n-1，0)到右上(0，n-1))在矩形网格上具有2n步的路径数，这些路径不跨越主对角线。
   
7. 在n + 1个字母的单词中插入n对括号的方式的数量，例如，对于n = 2，有2种方式：((ab)c)或(a(bc))。对于n = 3，有5种方式，(((ab)(cd))，(((ab)c)d)，((a(bc))d)，(a((bc)d))，(a (b(cd))。
8. 集{1，…，2n}中非交叉分区的数量，其中每个块的大小为2。当且仅当在平面图中块不相交(即不交叉)时，分区才是非交叉的。例如，下面两个是{1、2、3、4、5、6、7、8、9}的交叉和非交叉分区。分区{{1，5，7}，{2，3，8}，{4，6}，{9}}交叉且分区{{1，5，7}，{2，3}，{4 }，{6}，{8、9}}是非交叉的。
   
9. 长度为2n的Dyck字数。甲戴克字是由以下组成的字符串n X和n个Y的，使得字符串的没有初始段具有更多个Y比X的。例如，以下是长度为6的戴克单词： XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY。
10. 用n个矩形平铺高度为n的阶梯形状的方法数量。下图说明了n = 4的情况：
    
11. 圆上不相交和弦的连接点的方法数量。这类似于上面的第3点。
12. 形成n个上冲程和n个下冲程而都保持在原始线以上的“山脉”的方式的数量。山脉的解释是山脉永远不会低于地平线。
13. {1，…，n}的堆栈可排序排列数。如果S(w)=(1，…，n)，则排列w被称为堆栈可排序的，其中S(w)递归定义如下：write w = unv其中n是w中的最大元素，而u和v是较短的序列，并设置S(w)= S(u)S(v)n，其中S是一个元素序列的标识。
14. 避免模式123(或长度为3的任何其他模式)的{1，…，n}的排列数目；也就是说，没有三项增加的子序列的排列数。对于n = 3，这些排列是132、213、231、312和321.对于n = 4，它们是1432、2143、2413、2431、3142、3214、3241、3412、3421、4132、4213、4231、4312和4321

资料来源：

1. https://zh.wikipedia.org/wiki/加泰罗尼亚编号
2. http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html
3. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/CatalanNumbers/catalan.html
4. http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/instructor/applications/ch07.pdf
5. https://oeis.org/A000108