使用矩阵方法的圆卷积

简介

圆卷积是图像处理中的一种常用技术，它是指两个周期信号之间的卷积运算。在卷积运算中，两个函数f和g的卷积运算得到的函数h，可以看作是g在f上循环移位后的加权平均值，即：

h[n] = ∑(k=-∞)^∞ {f[k] * g[(n-k) mod N]}

其中，N是信号的周期。如果我们将f和g看作是矢量，那么圆卷积就是对这两个矢量做卷积运算。

在计算机图像处理中，圆卷积通常被用来做滤波、边界检测、特征提取等操作。在本文中，我们将介绍使用矩阵方法实现圆卷积的一种方法。

实现

在使用矩阵方法实现圆卷积时，我们可以将f和g转化为矩阵形式，然后对这两个矩阵做矩阵乘法，最终得到的结果就是圆卷积运算的结果。

具体实现过程如下：

1. 首先，我们需要将f和g分别转化为Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵是一种由每行/列元素是等差数列的矩阵，例如：

| t[0] t[-1] t[-2] t[-3] | | t[1] t[0] t[-1] t[-2] | | t[2] t[1] t[0] t[-1] | | t[3] t[2] t[1] t[0] |

这种矩阵结构非常适合用于计算卷积运算。因为每行/列元素都是等差数列，所以在计算矩阵乘法时，我们只需要将其中一个矩阵转置，然后将它与另一个矩阵做乘法即可。

2. 将f和g分别转化为Toeplitz矩阵。实现过程如下：

import numpy as np

def toeplitz_matrix(v, n):
    assert(len(v) <= n)  # vector must be shorter than or equal to n
    v = np.pad(v, (0, n - len(v)), mode='constant')  # pad with zeros to length n
    c1 = np.concatenate((np.flip(v[1:]), v))  # first column
    r2 = np.concatenate((v, np.zeros(n - 1)))  # second row
    return np.vstack([np.roll(c1, i) for i in range(n)])[:, :n], r2

上述函数中，v为输入的向量，n为要生成的Toeplitz矩阵的维度。我们首先对v进行零填充，以使得v的长度等于n。然后，根据Toeplitz矩阵的定义，构造出它的两个元素：第一列是v的反向延拓，第二行是v零填充后的结果。最后，我们将第一列重复滚动一次，并将结果垂直重复，即可得到最终的Toeplitz矩阵。

3. 对f和g分别生成Toeplitz矩阵，并进行矩阵乘法，得到圆卷积的结果。实现过程如下：

def circular_convolution(f, g):
    assert(len(f) == len(g))
    N = len(f)
    F, r = toeplitz_matrix(f, N)
    G, _ = toeplitz_matrix(g, N)
    cconv = np.dot(F, G)
    return np.roll((cconv @ r), -1)

上述函数中，我们首先计算出f和g的Toeplitz矩阵，并对它们进行矩阵乘法。最后，我们将乘积与r向左滚动一位相加，就得到了圆卷积的结果。这里注意，我们需要将r向左滚动一位是因为矩阵乘法压缩了一维，所以我们需要重新拉出这个一维，使cconv @ r得到的结果是一个向量，而不是一个矩阵。最后，我们再将这个向量向左滚动一位，得到最终的结果。

总结

使用矩阵方法实现圆卷积可以提高计算速度，但需要注意计算矩阵乘法时的细节。同时，Toeplitz矩阵的转换也是实现过程中需要掌握的重要技巧。