二维碰撞

当强大的力量在相对较短的时间内撞击两个或多个物体时，就会发生碰撞。碰撞是一次性的。由于碰撞，所涉及的粒子的能量和动量发生了变化。碰撞可能由于参与主体之间的实际物理接触而发生，例如两个台球或球与球棒之间的碰撞。可能存在没有直接物理接触的碰撞，例如 α 粒子与原子核的碰撞。

任何碰撞都由三个不同的可定义阶段引导，即碰撞之前、期间和之后。因为粒子在碰撞之前是独立的，所以它们之间的相互作用力为零。此外，在冲击之后，力恢复为零。由于粒子在碰撞过程中相互接触，相互作用力变得非常强。主导力量指导身体的运动。因为在大多数实际情况下相互作用力的大小是未知的，所以在这种情况下不能使用牛顿第二运动定律。可以使用动量守恒定律计算初始速度和最终速度。

例如，考虑两个质量为 m ₁和 m ₂的物体，以速度 u ₁和 u ₂移动。由于外力F _ext的作用，它们在一小段时间内发生碰撞，然后最终速度变为v ₁和v ₂ 。

二维弹性碰撞

如果两个物体之间发生弹性碰撞，可能会出现以下情况：

(1) 实验室参考系中的二维弹性碰撞

让我们考虑一个没有任何外力存在的两个粒子系统。第一个质量为 m ₁的粒子以初始速度运动$\vec{v}_{1,i}$以及最初处于静止位置的第二个质量为 m ₂的粒子。相互作用的粒子发生碰撞，其中第一个粒子以速度移动$\vec{v}_{1,f}$和第二个有速度的粒子$\vec{v}_{2,f}$ .一个粒子静止的参考系可以称为目标，即实验室参考系。

粒子与第一个粒子的正向前方向所形成的角度 θ _1,f和 θ _2,f称为实验室散射角。

问题陈述是确定每个最终速度向量的大小和方向， $v_{1,f},v_{2,f},θ_{1,f}\ and\ θ_{2,f}$ .整个系统的总动能和动量是守恒的。

总动量的分量由下式获得，

$\vec{P}^{sys}_i=m_i\vec{v}_{1,i}+m_2\vec{v}_{2,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq(1)\\ P^{sys}_{x,i}=m_1v_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (2)\\ P^{sys}_{y,i}=0$

$\vec{P}^{sys}_f=m_1\vec{v}_{1,f}+m_2\vec{v}_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (3)$

最终状态的动量分量由下式获得，

$P^{sys}_{x,f}=m_1v_{1,f}cos\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}\\ P^{sys}_{y,f}=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}sin\theta_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (4)$

由于总动量守恒，我们得到，

$P^{sys}_{x,i}=P^{sys}_{x,f}\ \ \ \ \ \ \ \ .......Equation (5)\\ P^{sys}_{y,i}=P^{sys}_{y,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (6)$

进一步从上述方程，我们得到，

$m_1v_{1,i}=m_1v_{1,f}cos\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (7)\\ 0=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}-m_2v_{2,f}sin\theta{2,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq(8)$

因为，在弹性碰撞过程中动能被保留，

$K^{sys}_i=K^{sys}_f ..eq(9)$

计算 eq(7),

$\frac{1}{2}m_1v^2_{1,i}=\frac{1}{2}m_1v^2_{1,f}+\frac{1}{2}m_2v^2_{2,f} ..eq (10)$

将 eq(5) 和 eq(6) 重写为，

$m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}=m_1(v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f})\ \ \ \ \ \ \ ..eq (11)\\ m_2v_{2,f}sin\theta_{2,f}=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (12)$

对 eq (9) 和 eq(10) 中的每个表达式进行平方和相加，

$cos^2\theta+sin^2\theta=1\ \ \ \ \ \ ..eq(13) \\ v^2_{2,f}=\frac{m^2_1}{m^2_2}(v^2_{1,i}-2v_{1,i}v_{1,f}cos\theta_{1,f}+v^2_{1,f})\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (14)$

将方程（11）代入方程（8），我们得到，

$\frac{1}{2}m_{1,i}=\frac{1}{2}m_1v_{1,f}+\frac{1}{2}\frac{m^2_1}{m_2}(v^2_{1,i}-2_{1,i}v_{1,f}cos\theta_{1,f}+v^2_{1,f})\ \ \ \ \ ..eq (15)$

简化 eq (12)，我们得到，

$0=\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v^2_{1,f}-\frac{m_1}{m_2}2v_{1,i}v_{1,f}cos\theta-\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)v^2_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (16)$

让∝ = $\frac{m_1}{m_2}$

重写 eq (13) ，

$0=(1+\alpha)v^2_{1,f}-2\alpha v_{1,f}v_{1,f}cos\theta_{1,f}-(1-\alpha)v^2_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (17)$

求二次方程的解，我们可以得到以下结果，

$v_{1,f}=\frac{\alpha v_{1,i}cos\theta _{1,f}\pm(\alpha^2v^2_{1,f}+(1-\alpha)v^2_{1,i})^{\frac{1}{2}}}{(1+\alpha)}\ \ \ \ \ ..eq\ (18)$

计算 eq (9)，

$\frac{v_{2,fsin\theta_{2,f}}}{v_{2,f}cos\theta_{,f}}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (19)$

简化 eq (16)，我们得到，

$tan\theta_{2,f}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq\ (20)$

我们可以得出结论，散射角之间的关系与碰撞粒子的质量无关。

所以，

第二个粒子的散射角可以通过下式计算，

$\theta_{2,f}=tan^{-1}\left(\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\right)\ \ \ \ \ \ \ ..eq\ (21)$

使用 eq (10)，为了计算第一个粒子的最终速度，

$v_{2,f}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{\alpha sin\theta_{2,f}}\ \ \ \ \ \ ..eq\ (22)$

(2) 二维无限质量的弹性碰撞

让我们假设一个质量为 m ₁的物体与静止时的无限质量发生碰撞。让我们假设它在碰撞前沿法线方向的速度为 u _n ，切线方向为 u _t

由于动量在切线方向上是守恒的，

m ₁ u _t = mv _1,t

v _1,t = u _t

由于动量在法线方向上是守恒的，

m ₁ u _n = m ₁ v _1,n + m2v _2n

在物体之间发生弹性碰撞的情况下，接近的速度等于分离的速度，因此，

v _2,n – v _1,n = u _n

简化，我们得到，

$v_{1,n}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_n\\ v_{2,n}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_n$

在近似时，我们使用 m2 >> m1

v _1,n = -u _1,n

v _2,n = 0

(3) 二维等质量的弹性碰撞

让我们假设一个物体的质量为 m。第二个物体具有相同的质量 m 并且最初处于静止状态。两个相互作用的粒子发生碰撞。让我们假设速度在碰撞前沿法线为_u ，沿_切线为 u。

由于动量在切线方向上是守恒的，

mu _t = mv _1,t

v _1,t = u _t

由于动量在法线方向上是守恒的，

mu _n = mv _1,n + mv _2,n

在物体之间发生弹性碰撞的情况下，接近的速度等于分离的速度，因此，

v _2,n – v _1,n = u _n

该方程可以进一步求解得到，

$v_{1,n}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_n\\ v_{2,n}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_n$

因为，质量是相等的，我们得到，m ₂ = m ₁

v _1,n = 0

那是，

v _2,n = u _n

(4) 二维非弹性碰撞

对于完全非弹性碰撞，让我们假设一个系统由两个粒子 m ₁组成，速度为 v ₁和 m ₂速度为 v ₂ ，彼此之间的角度为 θ ₁ 。在非弹性碰撞之后，两个质量形成一个质量 M 并以最终速度 v _{f 移动。}

能量守恒定律不适用于非弹性碰撞。通过在 x 轴方向上移动质量为 m ₁的物体的方向，可以为 x 和 y 方向的质量生成动量方程。

现在，我们得到，

x 分量：m ₁ v ₁ + Mv _f cosθ ₂

y 分量： m ₂ v ₂ sinθ ₁ Mv _f sinθ ₂

最终结果给我们留下了两个方程和两个变量 v _f和 θ ₂ 。因此，与完全弹性碰撞相比，任何二维的完全非弹性碰撞都很容易解决。

静止粒子对运动粒子的偏转

让我们假设一个有两个质量的系统，m ₁以速度 u ₁移动，第二个质量为 m ₂的物体处于静止状态。碰撞后，第一个质量物体开始以 v ₁的速度运动，并在入射方向偏转角度 θ ₁ 。类似地，第二个质量物体以 v ₂的速度开始移动，并在入射方向上偏转角度 θ ₂ 。

现在，我们有，

根据线动量守恒定律，

对于沿 x 轴的组件，我们有，

m ₁ u ₁ = m ₁ v ₁ cosθ ₁ +m ₂ v ₂ cosθ ₂ .. eq(1)

对于沿 y 轴的组件，我们有，

0=m ₁ v ₁ sinθ ₁ -m ₂ v ₂ sinθ ₂ ..eq(2)

由于系统减少了三个方程和四个未知变量的可用性，因此仅用这些值求解系统变得不可能。

示例问题

问题 1：10 kg 的质量在 y 轴正方向以 30 m/s 的速度行进。该质量与另一个质量为 40 g 的物体发生碰撞，该物体以 50 m/s 的速度沿负 y 轴运动。计算最终速度。

解决方案：

According to the law of conservation of momentum, therefore, 

Momentum before impact = Momentum After Impact

Equating the values, we get, 

10 × 30 + (.04) × (-50) = 10.04 v

Since, the 40g particle is moving in negative direction, we have, 

v = 29.68 m/s

问题 2：有一个包含三个质量的孤立系统，m ₁ = m ₂ = 2 m 和 m ₃ = 3 m。所有的质量都沿方向移动，但具有相同的初始速度，等于 v ₀ 。物体碰撞并发生弹性碰撞。计算三个物体中每个物体的最大可能最终速度。

解决方案：

Total initial kinetic energy in the system = 

$\frac{1}{2}m_1v_0^2 + \frac{1}{2}m_2v_0^2 + \frac{1}{3}m_3v_0^2=3mv_0^2$

The maximum speed is attained when the speeds of other particles is reduced to zero. 

Therefore,

$\frac{1}{2}m_1(v_{1max})^2 = 3mv_0^2$

Substituting the values of the masses, 

We get, 

v_1max = 2.45v₀

v_2max = 1.73v₀

v_3max = 1.41v₀

问题 3：以速度矢量运动的球体撞击垂直壁。壁平行于速度矢量。球体和壁面之间的恢复系数为 e。球体击球时的速度矢量是多少？

解决方案：

Computing the value, 

v_y = 2 m/s

v_x = -e × 2 = -1 m/s

$\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=(-\hat{i}+2\hat{j})unit$ 

问题 4：考虑一个质量为 m kg 的物体以速度 u 运动。球以一定的入射角弹性地撞击地板，使碰撞前后的速度保持不变。此外，回弹角等于入射角。让我们假设朝向地板的速度为负。平行于表面的动量变化是什么？

解决方案：

Since, we know, that the force acting on the body of mass ‘m’ is the normal reaction force of the surface. The change in momentum taken parallel to the surface will be equivalent to 0, since no parallel force acts on the ball.

问题 5：解释当两个不相等的质量碰撞时的后果。

解决方案：

When two bodies of unequal mass collide, the force acting on both objects is not equal and opposite in nature. Both the interacting particles experience unequal accelerations during the collision because of the contact forces.