碰撞类型

静止的身体在没有任何外力的情况下继续处于静止状态。然而，当一个力作用在一个物体上时，它往往会在作用力的方向上移动，然后就说做功是由这个力完成的。力对任何物体所做的功在数学上等价于力与物体在力的方向上发生的位移的乘积。

力所做的功仅取决于物体的初始位置和最终位置，即位移，而不取决于初始位置和最终位置之间的实际路径。因此，当一个物体在一个恒定的力 F 的影响下移动了一小段距离，比如 s，这个力所做的功等于，

W = F × s = F s cos θ

其中 θ 是 F 和 s 之间的较小角度。

完成工作的 SI 单位是焦耳 (J) 。它是一个标量，只有大小，没有方向。其维数公式为[ML ² T ^-2 ] 。

力对任何物体所做的功等于零，如果

1. 物体实际上并没有位移，即 s = 0。
2. 物体的位移垂直于力的方向，即力与位移的夹角为，θ = 90°

能量是所有生物生存的基本形式。这个宇宙中的太阳被认为是地球上能量的基本形式。能量是指任何物体做功的能力。做功需要能量。它是身体的一种定性属性。能量守恒定律规定能量不能被创造也不能被消灭。它只能从一种介质转移到另一种介质。

能量的 SI 单位是焦耳 (J) 。它是一个标量，只有大小，没有方向。其维数公式为[ML ² T ^-2 ] 。

功率是指物体做功的时间速率。数学上，

功率=做功率=完成的工作/花费的时间

因此，当一个物体在一个恒定的力 F 的影响下移动了一个很小的距离，比如说 s，这个力所做的功等于，

P = W / T = F × s / T

但是，s / t = v，物体的速度。

所以，

P = F × v = F v cos θ

其中 θ 是 F 和 v 之间的较小角度。

能量的 SI 单位是瓦特 (W)。它是一个标量，只有大小而没有方向，因为它只是两个标量的比值。其维数公式为[ML ² T ^-3 ]。

什么是碰撞？

碰撞是一个强大的力量在两个或多个物体之间作用很短的时间的事件。碰撞是一个孤立的事件。相互作用的粒子的能量和动量由于碰撞而发生变化。碰撞可能通过相关物体的实际物理接触而发生，例如，两个台球或球与球棒之间的碰撞。可能存在没有实际物理接触的碰撞，例如，α粒子与原子核的碰撞。

任何碰撞都由三个不同的可识别阶段引导，即之前、期间和之后。在碰撞之前，粒子之间的相互作用力为零，因为粒子是独立的。此外，碰撞后，力再次变为零。在碰撞过程中，粒子相互接触，因此相互作用的力变得非常大。物体的运动由主导力引导。由于在大多数实际情况下，相互作用力的大小是未知的，因此，牛顿第二运动定律不能用于这种情况。可以使用动量守恒定律计算初始速度和最终速度。

例如，考虑两个质量为 m ₁和 m ₂的物体，以速度 u ₁和 u ₂移动。由于外力F _ext的作用，它们在一小段时间内发生碰撞，然后最终速度变为v ₁和v ₂ 。

碰撞过程中的动量守恒和能量守恒

根据物理基本定律，某些属性适用于任何类型的碰撞：

• 动量守恒：碰撞发生的时间间隔很小，在此期间引起碰撞的平均冲力明显大于作用在系统上的外力。因此，在碰撞过程中，不考虑外力的施加，例如摩擦力或重力。这种冲力本质上是内部的，因此，系统的总动量对于所有实际目的都保持不变。因此，它在整个系统中保持保守。
• 能量守恒定律：根据能量守恒定律，能量既不能被破坏，也不能被创造。它只能从一种介质转移到另一种介质。因此，碰撞期间的总能量始终保持守恒。总能量包括在碰撞过程中产生和破坏的所有可能的能量形式，例如机械能、内能、激发能以及质能。

碰撞类型

在碰撞过程中，相互作用的物体彼此直接接触，因此它们会施加力。此活动的时间很短。有两种类型的碰撞，即：

• 基于动能守恒
  1. 完全弹性碰撞
  2. 非弹性碰撞
  3. 完全非弹性碰撞

Parameter	Perfectly elastic collision	Inelastic collision	Perfectly inelastic collision
Definition	The kinetic energy after the collision is equal to kinetic energy before the collision.	The kinetic energy after the collision is not equal to kinetic energy before the collision.	In this collision, two bodies stick together or move with the same velocity after the collision.
Coefficient of restitution	e = 1	0 < e < 1	e = 0
Kinetic Energies	(KE)final = (KE)initial	When the initial KE is converted into internal energy of the product (as heat, elastic, or excitation), then (KE)final < (KE)initial When internal energy stored in the colliding particles is released, then (KE)final > (KE)initial	There is a large loss in kinetic energy.
Example	The collision between atomic particles.	The collision between two vehicles on a road.	Firing of a bullet that remains embedded in a wooden block.

• 基于碰撞体的方向
  1. 正面或一维碰撞
  2. 斜向碰撞

Parameter	Head-on or one-dimensional collision	Oblique collision
Definition	The motion of the colliding or interacting particles before and after the collision acts along the same line the collision.	The motion of the colliding or interacting particles before and after the collision does not act along the same line the collision.   If the interacting particles before and after collision remain in the same plane, then the oblique collision is referred to as the 2-dimensional otherwise, referred to as the 3-dimensional collision.
Impact Parameter	Impact parameter b is zero for this type of collision	Impact parameter b lies between 0 and (r1 + r2) i.e. 0 < b < (r1 + r2) where r1 and r2 are radii of colliding bodies.
Example	Collision of two gliders on an air track.	Collision of the billiard balls.

完全弹性的正面碰撞

让我们假设两个质量为 m ₁和 m ₂的物体以初始速度 u ₁和 u ₂沿同一方向运动，它们发生碰撞，碰撞后它们的最终速度分别为 v ₁和 v ₂ 。

According to law of conservation of momentum  

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂               …………(1)

⇒ m₁(u₁ – v₁) = m₂(v₂ – u₂)                  ………..(2)

According to law of conservation of kinetic energy, we have, 

$\displaystyle \frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$       ……..(3)

⇒ $\displaystyle m_1(u^2_1 - v^2_1) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$                                                      ………(4)

Dividing equation (4) by equation (2)

v₁ + u₁ = v₂+ u₂    ……….(5)

⇒ u₁ – u₂ = v₂ – v₁          ………..(6)

We know, 

Relative velocity of approach = Relative velocity of separation  

Deriving from equation (5) we get

v₂ = v₁ + u₁– u₂

Substituting this value of  v₂ in equation (i) and rearranging we get  

$v_1=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)u_1+\frac{2m_2u_2}{m_1+m_2}$  …….(7)

Similarly, 

$v_2=\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right)u_2+\frac{2m_1u_1}{m_1+m_2}$   ……….(8)

完全弹性斜向碰撞

Let us assume two bodies to be in motion, 

By the law of conservation of momentum, 

We have, 

Along x-axis,

m₁u₂ + m₂u₂ = m₁v₁ cosθ + m₂v₂ cosϕ                   ……..(1)

Along y-axis,

0 = m₁v₁ sinθ – m₂v₂ sinϕ                                  ………(2)

We know, 

By the law of conservation of kinetic energy  : 

$\displaystyle \frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$   ……..(3)

解决的问题

问题 1：假设有 s 个小球，每个质量为 m 的小球每秒以 um/s 的速度弹性撞击表面。计算表面见证的力。

解决方案：

Since, there is a rebound of the ball with unmodified velocity, therefore, 

The change in velocity = 2u 

Mass colliding with the surface =  sm 

Force experienced by the surface is given by,  $F=m\frac{dv}{dt}\\ \therefore F=2\ msu$

问题 2：最初，一辆质量为 400 公斤的汽车以 72 公里/小时的速度行驶，不小心撞上了一辆质量为 4000 公斤的汽车。碰撞前，卡车以每小时 9 公里的速度行驶，与汽车行驶的方向相同。由于碰撞，汽车以 18 公里/小时的速度回弹。计算碰撞后卡车移动的速度。

解决方案：

By the law of conservation of linear momentum, we have, 

The summation of initial momentum is equivalent to the summation of final momentum. 

m₁u₁ + m₁u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

⇒ 400 × 72 + 4000 × 9 = 400 × (-18) + 4000 × v₂

⇒ v₂ = 18 km/h

Therefore, the final velocity of the car is 18 km/h.

问题 3：一个板条箱保持在质量相当于 5 公斤的原点。对其施加 10 N 的力以模拟其与 x 轴成 60° 角的运动。由于这种位移，板条箱移动了 4 m。施加力所做的功是什么？

解决方案：

Work done is given by the dot product of force and displacement, that is, 

 F.s = F s cos θ

=10 × 4 × cos 60° 

= 20 J

问题 4：将一个板条箱放在质量等于 1 公斤的桌子上。它在 8 N 的外力作用下沿水平工作台拖过 1 m 的长度，然后承受 2 m 的垂直高度。计算完成的净功。

解决方案：

Work done to displace the crate horizontally , W_H 

= F × s 

= 8 × 1 = 8 J

Work done to raise the crate vertically, W_v =  F × s 

= m x g x h

 = 1 × 10 × 2 = 20 J

Therefore,

Net work done on the crate is W_H + W_v 

= 8 +20 = 28 J

问题 5：一个 10 kg 质量的块在粗糙表面上滑动需要 5 N 的水平力来保持 2 m/s 的速度。这股力量在一分钟内所做的功是？

解决方案：

Mathematically, 

Work done by an object = Force × displacement

⇒ W = F × s

Since, we know, 

s = v x t 

 = F × v × t 

= 5 × 2 × 60 

= 600 J