门|门 IT 2005 |第 54 题

这是一道算法题，涉及到循环、条件判断和数学计算等基本技能。题面如下：

给定一个正整数n，求所有小于等于n的正整数中，各位数字的平方和等于该正整数的所有正整数。 例如，当n=25时，有以下几个满足条件的正整数： 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 19, 23, 25

思路分析

要求各位数字的平方和，可以通过将每一位数字取出来并求平方然后加和来实现。可以用循环来遍历从 1 到 n 的每一个正整数，对于每一个正整数，可以将其各位数字取出来并求平方和，如果得到的值等于该正整数本身，则将其放入一个数组中，最终输出该数组即可。

代码实现

以下是 Python 语言的代码实现，可以在代码中更改变量 n 的值，运行后即可得到所有符合条件的正整数。

n = 25  # 可自己调整 n 的值
result = []
for i in range(1, n+1):
    s = 0
    for j in str(i):
        s += int(j)**2
    if s == i:
        result.append(i)
print(result)

以下是 Java 语言的代码实现，同样可以在代码中更改变量 n 的值，运行后即可得到所有符合条件的正整数。

int n = 25; // 可自己调整 n 的值
ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int s = 0;
    for (char c : String.valueOf(i).toCharArray()) {
        int digit = c - '0';
        s += digit * digit;
    }
    if (s == i) {
        result.add(i);
    }
}
System.out.println(result);

思路优化

上述实现方式需要对每个正整数的每一位进行拆分、平方和计算和重新组合，效率比较低。我们可以考虑使用数学方法来优化算法。

首先观察符合条件的正整数，可以发现它们的个位数只可能是 1、4、5、6、7、9。因为其他数字的个位数的平方和最大只有 81（即 9^2），而大于 81 的正整数显然不可能是它们各位数字的平方和。

接下来可以进一步观察符合条件的正整数，可以发现如果一个正整数 s 满足各位数字的平方和等于 s 本身，那么 s 的各位数字都必须是 1、4、5、6、7、9 中的一个，并且 s 的位数只可能是 1、2、3、4、6、7、9 或 12。这是因为如果 s 有一个位数大于 2 ，那么它的各位数字的平方和至多是 9^2 + 9^2 + ...，无法达到较大的数。如果 s 有一个位数等于 5、8、10、11 或更多位，那么它的各位数字的平方和至多是 81 + 81 + ...，也无法达到较大的数。

基于上述观察，我们可以先将 1、4、5、6、7、9 中的数字求出来，然后从个位数开始，分别计算所有符合条件的数字。具体实现方式如下：

int[] squares = {1, 4, 5, 6, 7, 9};
ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
for (int d1 : squares) {
    int square1 = d1 * d1;
    if (square1 <= n) {
        result.add(square1);
    } else {
        break;
    }
    for (int d2 : squares) {
        int square2 = d1 * d1 + d2 * d2;
        if (square2 <= n) {
            result.add(square2);
        } else {
            break;
        }
        for (int d3 : squares) {
            int square3 = d1 * d1 + d2 * d2 + d3 * d3;
            if (square3 <= n) {
                result.add(square3);
            } else {
                break;
            }
            for (int d4 : squares) {
                int square4 = d1 * d1 + d2 * d2 + d3 * d3 + d4 * d4;
                if (square4 <= n) {
                    result.add(square4);
                } else {
                    break;
                }
                for (int d5 : squares) {
                    int square5 = d1 * d1 + d2 * d2 + d3 * d3 + d4 * d4 + d5 * d5;
                    if (square5 <= n) {
                        result.add(square5);
                    } else {
                        break;
                    }
                    for (int d6 : squares) {
                        int square6 = d1 * d1 + d2 * d2 + d3 * d3 + d4 * d4 + d5 * d5 + d6 * d6;
                        if (square6 <= n) {
                            result.add(square6);
                        } else {
                            break;
                        }
                        for (int d7 : squares) {
                            int square7 = d1 * d1 + d2 * d2 + d3 * d3 + d4 * d4 + d5 * d5 + d6 * d6 + d7 * d7;
                            if (square7 <= n) {
                                result.add(square7);
                            } else {
                                break;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}
System.out.println(result);

总结

本题是一道基础算法题，既可以用循环和条件判断来解决，也可以用数学方法来优化算法。在实现算法时要注意代码的可读性和效率，同时可以通过观察题目中的数据特征来优化算法，提高代码效率和执行速度。