题目概述

门|门 IT 2007 第 54 题是一道经典的算法题。本题要求你编写一个函数，给定一系列无序的整数，求出它们的中位数。

解决方案

对于这个问题，我们可以采用两种不同的解决方案：排序和选择算法。下面分别介绍这两种方案。

排序方案

排序方案的基本思路是将输入的整数序列排序，然后找到中间位置的数。由于我们需要求出中位数，也就是第 $n/2$ 小的数，因此我们需要将输入序列排序之后，取出其第 $n/2$ 个元素即可。

排序方案的时间复杂度主要来自于排序算法的复杂度。不同的排序算法有不同的复杂度，其中比较好的选择有快速排序和归并排序。如果对时间复杂度有较高的要求，可以选择这两种算法之一。

对于本题而言，一个简单的排序方案的实现可以使用 Python 语言实现。代码如下所示：

def find_median(nums):
    nums.sort()  # 将 nums 排序
    n = len(nums)
    if n % 2 == 0:
        return (nums[n // 2 - 1] + nums[n // 2]) / 2
    else:
        return nums[n // 2]

该函数接受一个整数列表 nums 作为参数，用 Python 内置方法 list.sort() 将其排序。然后判断列表长度的奇偶性，如果是偶数则返回中间两个数的平均值，否则直接返回中间的数。

选择算法

选择算法是另一种求解中位数的经典算法。与排序算法不同，它并不对输入进行排序，而是通过递归地划分输入序列，逐步减小问题规模，直到找到中位数为止。

选择算法的一个经典实现是快速选择算法（QuickSelect Algorithm）。该算法基于快速排序算法，但是不需要对整个序列进行排序，而只需要对一个特定区间进行排序，并且不断缩小这个特定区间的范围。当缩小范围后的区间的大小等于 1 时，就找到了中位数。

快速选择算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$，比排序方案的时间复杂度要优秀。

对于本题而言，一个简单的选择算法的实现可以使用 Python 语言实现。代码如下所示：

from random import randint

def find_median(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return None
    if n == 1:
        return nums[0]
    pivot = nums[randint(0, n - 1)]
    left = [x for x in nums if x < pivot]
    right = [x for x in nums if x > pivot]
    k = len(left)
    if n % 2 == 1 and k == n // 2:
        return pivot
    elif k > n // 2:
        return find_median(left)
    else:
        return find_median(right)

该函数接受一个整数列表 nums 作为参数，不断地将其划分为两个子序列 left 和 right，并在其中寻找中位数。其中 pivot 是一个随机选择的数，用来帮助进行划分。这样，当 left 中元素的数量等于 $n/2$ 时，我们就找到了中位数。

参考资料

• Doors|Doors IT 2007 - 54 - Median
• Quickselect