给定两个数组的最小总和

问题描述

给定两个数组nums1和nums2，并且它们的长度都为$n$，现在定义一个函数$f(i, j)$，其中$0\le i,j<n$，$f(i, j)$表示选择$nums1$中下标小于等于$i$的元素和$nums2$中下标小于等于$j$的元素，并且这些元素中的最小值之和。例如，$f(0, 0)$表示选择$nums1$中第$0$个元素和$nums2$中第$0$个元素，并且这些元素中的最小值为$min(nums1[0], nums2[0])$。现在的问题是如何找到一个函数$f$，使得$f(n-1, n-1)$得到的结果是最小的。

解题思路

可以使用动态规划的思想，假设已经得到了$f(i-1, j)$和$f(i, j-1)$，考虑如何求出$f(i, j)$，根据$f$的定义，选择$nums1$中下标小于$i$的元素和$nums2$中下标小于等于$j$的元素中的最小值，或者选择$nums1$中下标小于等于$i$的元素和$nums2$中下标小于$j$的元素中的最小值，则$f(i, j)$可表示为：

$f(i, j)=min(f(i-1, j) + nums1[i], f(i, j-1) + nums2[j])$，其中$0\le i,j<n$，$f(0, 0)=nums1[0]+nums[0]$

最后，$f(n-1, n-1)$即为选择$nums1$和$nums2$中最小值之和的最小值。

代码实现

def min_sum_of_two_arrays(nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums1)
    dp = [[float("inf")] * n for _ in range(n)]  # 初始化dp数组为正无穷
    dp[0][0] = nums1[0] + nums2[0]  # 初始化dp[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = min(dp[i-1][0] + nums1[i], nums1[i]+nums2[0])
        dp[0][i] = min(dp[0][i-1] + nums2[i], nums1[0]+nums2[i])
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + nums1[i],   # 选择nums1[i]
                           dp[i][j-1] + nums2[j],   # 选择nums2[j]
                           min(nums1[i], nums2[j])) # 既不选择nums1[i]也不选择nums2[j]
    return dp[n-1][n-1]   # 返回结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中$n$为数组的长度，需要计算$n^2$次$f(i,j)$。
• 空间复杂度：$O(n^2)$，需要使用一个二维数组$dp$来存储中间结果。