给定数组的元素对的最小乘积总和

问题描述

给定两个长度相等且元素均为正整数的数组nums1和nums2。可以对nums1中的任意元素进行任意次数的替换，每次替换可以将该元素替换为nums2中的任何一个元素。求最小化两个数组内所有元素成对乘积的和。

解题思路

首先，对于每一对nums1[i]和nums2[i]，它们的乘积显然是越小越好。因此，可以将nums1和nums2中的元素组成若干对，并对每一对中两个元素的乘积进行排序。接着，使用贪心算法，逐一将每一对中nums1的元素替换为其乘积最小的nums2的元素即可。

具体步骤如下：

1. 将nums1和nums2中的元素按照从小到大的顺序分别排序，得到有序数组sorted1和sorted2。
2. 对于每一对sorted1[i]和sorted2[i]，将它们的乘积添加到一个优先队列中。
3. 对于每一对sorted1[i]和sorted2[i]，从优先队列中取出元素，并将其中sorted2[i]所在位置之前的元素均替换为sorted2[i]。
4. 将所有元素乘积的和作为最后的答案返回。

代码实现

import heapq

def minDotProduct(nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums1)
    sorted1, sorted2 = sorted(nums1), sorted(nums2)
    products = []
    for i in range(n):
        heapq.heappush(products, sorted1[i] * sorted2[i])
    for i in range(n):
        p = heapq.heappop(products)
        if sorted2.index(nums2[i]) < sorted2.index(nums2[n-1-i]):
            p = p - sorted1[i] * sorted2[i] + sorted1[i] * sorted2[n-1-i]
        heapq.heappush(products, p)
    return sum(products)

上述代码中，我们使用了Python中的优先队列（也就是堆）来快速地找到当前乘积最小的一对元素。同时，我们使用了列表的index方法来查找元素在数组中的位置。由于这个方法的时间复杂度为$O(n)$，因此在代码中多次出现这个方法的情况下，可能减缓算法的速度。如果需要进一步优化该算法，可以考虑使用字典等数据结构来避免重复计算。