数学|均值，方差和标准差

平均值是给定数据集的平均值。让我们考虑下面的例子

$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$

这八个数据点的平均值(平均值)为5：

$\frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Formula : \mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

其中μ是均值，x ₁ ，x ₂ ，x ₃ …。，x _i是元素。还请注意，均值有时表示为$\bar{x}$

方差是所有数字和均值之差的平方和。
以上示例的偏差。首先，从平均值计算每个数据点的偏差，然后对每个结果的平方：

$\begin{array}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. \\ \end{array}$

方差= $\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8}$ = 4。

$Formula: \sigma^{2}= \frac { \sum_{i=1}^{N} (x_{i}-\mu)^{2}}{N}$

其中μ是均值，N是元素总数或分布频率。

标准偏差是方差的平方根。它是数据与平均值差异程度的度量。

标准偏差(针对以上数据)= $\sqrt{ 4 }$ = 2

为什么数学家选择平方然后求平方根来求偏差，为什么不简单地取值的差呢?
原因之一是，根据均值的定义，差的总和变为0。绝对差之和可能是一个选择，但由于存在绝对差，因此很难证明许多好的定理。 [来源：麻省理工学院视频讲座，1：19]

$\textup{Coefficient of variation } =\frac{ \textup{Standard deviation}}{Mean}*100$

一些有趣的事实：
1. 如果输入中的所有条目相同，则标准偏差的值为0。
2. 如果我们在输入集中的所有值上加上(或减去)一个数字，例如7，则均值将增加(或减少)7，但标准差不会改变。
3. 如果我们将输入集中的所有值都乘以数字7，则均值和标准差都将乘以7。但是，如果我们将所有输入值都乘以负数(例如-7)，则均值将被-7乘以，但标准差乘以7。
4. 标准差和方差是衡量数字分布程度的一种度量。方差可以让您大致了解扩散，但标准偏差则更为具体，可以使您与均值保持准确的距离。
5. 均值，中位数和众数是数据集中趋势(分组或未分组)的量度。

往年的GATE考试曾提出以下问题
http://quiz.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2012-question-64/

参考：
https://zh.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm