二项式均值和标准差–概率| 12年级数学

二项式分布是否的概率分布。伯努利试验的结果，即如果伯努利试验进行了n次，则其成功的概率由二项式分布给出。请记住，每个试验都独立于其他试验，只有两个可能的结果满足伯努利试验的相同条件。

考虑抛硬币n次的情况，获得x恰好为x的概率。可以使用二项式分布来计算头/尾的数量。如果在相同情况下仅一次抛硬币与伯努利分布相同就抛硬币。

如果它的概率分布函数由下式给出，则取值1,2，… n的随机变量X遵循二项分布。

P(X = r)= ⁿ C _r p ^r q ^nr

在哪里，

r = 0, 1,2……, n, where p, q>0 such that p+q=1 

p = probability of success of an event

q = probability of failure of an event

二项式分布的均值或期望值

二项式分布的平均值与其他任何事物的平均值相同，等于提交的乘积为no。成功的概率和每次成功的概率。

Mean = ∑_r r. P(r)

            = ∑_r r  ⁿC_r p^r q^n-r  

            = ∑_r r n/r  ^n-1C_r-1 p.p^r-1 q^n-r    [as ⁿC_r= n/r  ^n-1C_r-1]

            = np ∑_r ^n-1C_r-1 p^r-1 q^(n-1)-(r-1)

            = np(q+p)^n-1       [by binomial theorem i.e. (a+b)ⁿ = ∑_k=0 ⁿC_k aⁿ b^n-k ]

            =np [as p+q=1]

Therefore, Mean=np

二项式分布的方差

我们知道，方差是对数据从数据集中的平均值的分布程度的度量。同样，二项式分布的方差是对每个no概率分布的度量。从均值概率得出的成功率，均值是从均值的平方差的平均值。

Variance = (∑_r  r². P(r)) – Mean²

              = ∑_r  [r(r-1)+r] ⁿC_r p^r q^n-r – (np)²

              = ∑_r  r(r-1) ⁿC_r  p^r q^n-r + ∑_r  r ⁿC_r p^r q^n-r – (np)²

              = ∑_r r(r-1) n/r (n-1)/(r-1)  ^n-2C_r-2 p² p^r-2 q^n-r +np – (np)²

              = n(n-1)p² {∑_r  ^n-2C_r-2  p^r-2 q^n-r } +np – (np)²

              = n(n-1) p² (q+p)^n-2 + np – n²p²         [by binomial theorem i.e. (a+b)ⁿ = ∑_k=0 ⁿC_k aⁿ b^n-k ]

              = n²p² -np² +np-n²p²                        [as p+q=1]

              = np-np²

              = np(1-p)

              = npq

Therefore, Variance=npq

二项式分布的标准差

标准偏差也是找出No分布程度的标准度量。从平均值。

Standard Deviation = (Variance)^1/2

                                           = (npq)^1/2 

例子1.一枚硬币被扔了五次。正好达到3倍的机率是多少?还可以找到均值，方差和标准差。

解决方案：

 n = 5 (no. of trials)

 p = probability of getting head at each trial

   =1/2

 q = 1-1/2 = 1/2  

  r = 3 ( no. of successes i.e. getting a head)

 P(X=r) = nCr pr qn-r

 = 5C3 (1/2)3 (1/2)5-3  

 = 5!/(3!*2!) 1/8 * 1/4

 = 10 *(1/8)*(1/4)

 = 5/16

  Mean = np

   = 5 * 1/2 = 5/2

Variance = npq = 5 * 1/2 * 1/2

                = 5/4

Standard deviation = (5/4)1/

                              = 5^1/2/2

例子2.一个骰子被扔三次。得到偶数的概率是多少。二项式分布的均值，方差和标准差是多少?

解决方案：

 Here, n = 3(no. of trials)

 p = probability of getting an even number during each trial

 p = 3/6=1/2 [ 2,4,6 are even no. in dice]

 q = 1-1/2 =1/2

r= 1( no. of successes i.e. getting a even no. )

P(X=r)= ⁿC_r * pr * q^n-r

           =³C₁  (1/2)1  (1/2)^3-1  

           = 3!/(1!*2!) 1/2 * 1/4

           = 3 * (1/2) * (1/4)

           = 3/8

Mean = np

        = 3 * 1/2 = 3/2

Variance = npq = 3 * 1/2 * 1/2

               = 3/4

Standard deviation= (3/4)1/2 

                              =31/2/2                                                                                                                                                                   

示例3.如果有缺陷螺栓的概率为0.1，则求出总共500个螺栓中有缺陷螺栓的分布的平均值，方差和标准偏差。

解决方案：

Considering as a case of binomial distribution ,

n = 500( no. of trials which we can are no. of bolts here)

p = probability of one defective bolt during each trial

p = 0.1

Q=1-0.1 =0.9  

Mean = np

        = 500 * 0.1 =50

Variance = npq

              = 500 * 0.1 * 0.9 = 45

Standard Deviation = (variance)1/2

                   = (45)1/2 = 6.71    

示例4.从一副52张纸牌中连续抽出两张纸牌进行替换。求出A数的概率分布。还可以找到均值，方差和标准差。

解决方案：

n = 2(no. of trials)

p = probability of getting an ace in each trial

  = 4/52 =1/13

q = 1-1/13 =12/13

r = no. of successes i.e no. of aces (0,1,2)

         

P(X=r) = 2Cr (1/13)r (12/13)2-r

For r = 0

P(0) = 2C0 (1/13) (12/13) 2-0

      = 144/169

For r=1

P(1) = 2C1 (1/13)1 (12/13)2-1

       = 24/169

For r=2

P(2) = 2C2 (1/13) 2 (12/13)2-2

       =1/169  

Therefore, probability distribution can be given as :

X	0	1	2
P(X)	144/169	24/169	1/169

Mean =np

    = 2 * 1/13 =2/13

Variance = npq

              = 2 * (1/13) * (12/13)

             = 24/16

Standard Deviation= (variance)1/2

                = (24/169)1/2 = 0.376