Eratosthenes筛的时间复杂度如何为n * log(log(n))？

先决条件：蛇纹石筛

什么是Eratosthenes算法的筛网?
为了对其进行分析，让我们取一个数字n ，任务是打印小于n的质数。因此，根据Eratosthenes筛的定义，对于每个素数，它必须检查素数的倍数并将其标记为复合数。该过程一直持续到最高素数小于n的值p为止。

了解Eratosthenes筛子的n * log(log n)时间复杂度

1. 如果假定将一个数字标记为复合数字所花费的时间是恒定的，则循环运行的次数等于：

   

2. 从上面的方程式中取n个公共点，可以将上面的方程式重写为：
   
3. 可以通过质数之和的谐波级数证明如下：
   

   素数和的谐波级数证明：
   为了理解证明，先决条件是调和级数和泰勒级数展开式。

   • 让我们看一个等式：
     
   • 上式的泰勒级数展开式为：
     
   • 将x = 1放在上面的公式中，我们得到以下关系：

     

     让我们将上面的等式标记为1 。

   • 根据欧拉的产品公式，

     

   • 用上式中的s = 1 ，我们得到

     

   • 在将日志应用于双方时：
     ul
     
   • 通过简化上述等式，它变为：

     

   • 在上式中， 1> p ^-1 > -1
   • 因此，我们可以对上述方程式的右边使用taylor级数展开。
     
   • 将其代入上式后，我们得到：

     

     其中p是质数。

   • 关于扩大内部求和；

     

   • 以上系列是收敛的。因此，以上系列可以近似为：
     
   • 因此，在代入和重写方程式时；我们得到

     

     其中p是质数。

   • 从初始等式1 ，我们可以最终得出以下结论：
     
     其中p是素数之和。
4. 将其代入等式后，我们得到的时间复杂度为：
   

因此，Eratosthenes筛的时间复杂度为n * log(log(n))

参考：质数倒数之和的和