预计将获得N个连续负责人的审判次数

给定数字N。任务是找到硬币必须翻转才能连续获得N个正面的预期次数。

例子：

Input: N = 2
Output: 6

Input: N = 5
Output: 62

方法：
关键是要观察到，如果我们在连续N次翻转之间看到一条尾巴，则会破坏连续头部的条纹，而对于N个连续头部我们必须重新开始。

令预期的试用次数为X，以获得N个连续的主管。以下是可能的情况：

• 情况1：如果在第一个试验中出现尾巴，则意味着我们已经浪费了一个试验，并且我们将不得不再进行X次试验才能获得N个连续的头部。该事件的概率为1/2 ，获得N个连续头部所需的试验总数为(X +先前试验浪费的计数) 。
• 情况2：如果在第二次试验中出现尾巴，则意味着我们已经浪费了所有先前的试验，并且我们将不得不再进行X次试验才能获得N个连续的头部。此事件的概率为1/4 ，获得N次连续翻转所需的总试验次数为(X +先前试验浪费的次数)。
• 情况3：如果在第3次试验中出现尾巴，则意味着我们已经浪费了之前的所有试验，并且我们将不得不再进行X次试验才能获得N。该事件的概率为1/8 ，获得N次连续翻转所需的总尝试次数为(X +先前浪费的尝试次数) 。这将一直持续到我们连续获得N个负责人为止。
• 案例N：类似地，如果在第N次试验中出现尾巴，则意味着我们已经浪费了之前所有的试验，并且我们将不得不再进行X次试验才能获得N。此事件的概率为1/2 ^N ，而获得N次连续翻转所需的总尝试次数为(X +先前浪费的尝试计数) 。

从上述情况来看，给出的所有概率之和将给出N个连续负责人的试验次数。数学上：

X = (1/2)*(X+1) + (1/4)*(X+2) + (1/8)*(X+3)+. . .+(1/2^N)*(X+N) + (1/2^N)*N

求解上面的X方程。我们具有：

By opening the above expressions and arranging it we have:
X = X(1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . . 1/2N) 
    + (1/2 + 2/4 + 3/8 . . . . . . . + N/2N 
    + N/2N)

上述方程式的第一部分形成几何级数，而上述方程式的第二部分形成算术几何序列。分别解决上述序列，我们有：
对于几何序列：

Sum of GP series = 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . . 1/2^N
first term(a) is 1/2
common ratio(r) is 1/2
last term (nth term) is 1/2^N which is also a * r^N-1
Hence sum is given by:
Sum of GP series = (1/2)*( (1 – (1/2)^N)/(1 – 1/2) ) using formula : (a * (1 – r^N)) / (1 – r) since r < 1
Sum of GP series = (1 – (1/2)^N)

对于算术几何序列：

Let S = Sum of Arithmetico Geometric Sequence:

=> S = (1/2 + 2/4 + 3/8 + . . . . . . N/2^N) …….(1)

Multiplying By 2, we get
=> 2S = (1 + 2/2 + 3/4 + . . . . . . . + N/2^N-1) …….(2)

Subtracting the equation(1) from the equation(2), we get
=> S = (1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . . 1/2^N-1) – N/2^N
=> S = sum of GP series – N/2^N
=> S = (2 – (1/2)^N-1)) – N/2^N

使用GP系列和算术几何序列的总和：

=> X = X*(1 – (1/2)^N) + (2 – (1/2)^N-1) – N/2^N + N/2^N
=> X = X*(1 – (1/2)^N) + (2 – (1/2)^N-1)
=> X*((1/2)^N) = (2 – (1/2)^N-1)
=> X = 2^N+1 – 2

现在X的上面的公式给出了需要连续N个试验头的试验次数。

下面是上述方法的实现：

C++

// C++ implementation of the above approach
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
  
// Driver Code
int main()
{
    int N = 3;
  
    // Formula for number of trails for
    // N consecutive heads
    cout << pow(2, N + 1) - 2;
    return 0;
}

Java

// Java implementation of the above approach
class GFG{
  
// Driver Code
public static void main(String[] args) 
{ 
    int N = 3;
  
    // Formula for number of trails for
    // N consecutive heads
    System.out.print(Math.pow(2, N + 1) - 2);
}
}
  
// This code is contributed 
// by shivanisinghss2110

Python3

# Python3 implementation of the above approach
  
# Driver code
if __name__ == '__main__':
      
    N = 3
  
    # Formula for number of trails for
    # N consecutive heads
    print(pow(2, N + 1) - 2)
  
# This code is contributed by mohit kumar 29

C#

// C# implementation of the above approach
using System;
class GFG{
  
// Driver Code
public static void Main() 
{ 
    int N = 3;
  
    // Formula for number of trails for
    // N consecutive heads
    Console.Write(Math.Pow(2, N + 1) - 2);
}
}
  
// This code is contributed 
// by Code_Mech

输出：

14

时间复杂度： O(1)