题目

门 | GATE-CS-2007 | 第 72 题

题目描述

给定一个长度为 n 的数组 A，其中每个元素的值都为非负整数。定义以下两个指标：

1. M(i,j) = max { A[i], A[i+1],...,A[j] }，表示从 A[i] 到 A[j] 之间的最大值。

2. S(i,j) = sum { A[i] + A[i+1] +...+A[j] }，表示从 A[i] 到 A[j] 之间的总和。

现在，你需要编写一个函数，计算符合以下条件的元素对的数量：

1. M(i,j) > 2 * S(i,j)

2. M(i,j) 和 S(i,j) 的差值的绝对值小于等于 10 的 6 次方

返回元素对的数量。

函数签名

def count_elements(A: List[int]) -> int:
    pass

输入

• A: 一个整数列表

输出

• 返回元素对的数量

例子

assert count_elements([0, 1, 2, 3, 4]) == 0
assert count_elements([0, 1, 2, 3, 40]) == 1

解题思路

题目要求我们返回满足条件的元素对的数量，其中条件是满足：

1. M(i,j) > 2 * S(i,j)

2. M(i,j) 和 S(i,j) 的差值的绝对值小于等于 10 的 6 次方

对于数组 A，我们可以通过两个数组 M 和 S 来维护，其中 M[i][j] 表示从 A[i] 到 A[j] 之间的最大值，S[i][j] 表示从 A[i] 到 A[j] 之间的总和。对于 M 和 S 的计算，可以通过一次遍历数组 A 来实现，时间复杂度为 O(n^2)。

然后我们可以通过两个循环来遍历 M 和 S 数组，计算符合条件的元素对的数量即可，时间复杂度为 O(n^2)，可以通过本题。

代码实现

from typing import List


def count_elements(A: List[int]) -> int:
    n = len(A)
    max_abs_diff = 10**6
    M = [[0] * n for _ in range(n)]
    S = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 计算 M 和 S 数组
    for i in range(n):
        M[i][i] = A[i]
        S[i][i] = A[i]
        for j in range(i + 1, n):
            M[i][j] = max(M[i][j - 1], A[j])
            S[i][j] = S[i][j - 1] + A[j]

    # 统计元素对的数量
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if M[i][j] > 2 * S[i][j] and abs(M[i][j] - S[i][j]) <= max_abs_diff:
                count += 1

    return count

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是数组 A 的长度，需要两次 O(n^2) 的循环来计算 M 和 S 数组，以及统计元素对的数量。

• 空间复杂度：O(n^2)，需要两个二维数组 M 和 S 来存储数组 A 的信息，空间复杂度为 O(n^2)。