UGC-NET CS 2017年11月 - III问题6

这是一道UGC-NET CS 2017年11月 - III考试中的问题6，考察了计算机科学背景下的数学知识。问题是：给定两个非空集合A和B，证明A和B的幂集的交集，等于A和B的交集的幂集。这道题需要掌握集合操作和数学证明的技能。

集合操作

在计算机领域，集合是一种常见的数据结构，用于存储一组唯一的、无序的数据。集合中的元素可以是任何类型的数据，如数字、字符串、对象等。常用的集合操作包括并集、交集、补集等。

在本题中，我们需要掌握幂集的概念。幂集是指一个集合所有子集构成的集合。例如，集合{1, 2}的幂集是{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。

证明过程

我们假设集合A和B的交集为C，即C = A ∩ B。我们要证明的是A和B的幂集的交集等于C的幂集，即P(A) ∩ P(B) = P(C)。

为了证明这个结论，我们需要证明两个集合相等：P(A) ∩ P(B) ⊆ P(C) 和 P(C) ⊆ P(A) ∩ P(B)。

对于第一步，我们假设X是A和B的幂集的交集的一个元素，即X ∈ P(A) ∩ P(B)。那么X同时包含在A的幂集和B的幂集中。根据幂集的定义，A的幂集中的任何一个元素都是A的子集，B的幂集中的任何一个元素都是B的子集。因此，X是A和B的公共子集。

另一方面，C是A和B的交集，因此C是A和B的公共子集。因此，X也是C的子集。因此，X属于C的幂集，即X ∈ P(C)。因此，我们证明了P(A) ∩ P(B) ⊆ P(C)。

对于第二步，我们假设Y是C的幂集中的一个元素，即Y ∈ P(C)。那么Y是C的子集，也是A和B的子集。因此，Y同时属于A的幂集和B的幂集，即Y ∈ P(A) ∩ P(B)。 因此，我们证明了P(C) ⊆ P(A) ∩ P(B)。

综上所述，我们证明了P(A) ∩ P(B) = P(C)。

总结

本题考察了掌握集合操作和数学证明的技能。在解题过程中，我们需要了解幂集的概念、掌握常见的集合操作，以及应用证明方法来证明该结论。这道题的解题思路可以帮助程序员培养数学思维和逻辑思维的能力，提高解决问题的能力。