题目23: 分片机器

题目描述

有 $n$ 台机器，每台机器有一个单独的可扩展的磁盘。每台机器的磁盘都足够大，可以存储整个系统的数据。

你可以将任何一个磁盘的部分内容复制到另一台机器的磁盘上，这个过程可以无限次进行。

现在，我们希望将数据划分并复制到不同的机器上，以最大化数据的可用性。也就是说，当一些机器无法使用时，比如发生硬件故障或网络故障时，其余机器上的数据仍然可以供用户使用。

请设计一个算法，将数据划分到 $k$ 台机器上，并使其最大化数据的可用性。

例如，在下图中，当 $k=3$ 时，一种数据划分方式是将数据分为三个部分，每个部分存储在不同的机器上。

注意，一个部分可以复制到多个机器上。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n$ 和 $k$，分别表示机器的数量和需要存储数据的部分数量。

接下来 $k$ 行，每行包含一个长度为 $n$ 的 01 串，表示一个数据部分，每个字符表示该部分应该存储在哪些机器上。

输出格式

输出一个整数，表示数据划分到 $k$ 台机器上时的最大可用性。

数据范围

$1 \le k \le n \le 18$

输入样例

4 3
1111
1001
0011

输出样例

2

题目分析

根据题目，我们需要将数据划分成 $k$ 个部分并存储到 $n$ 台机器中。可以使用递归的思想，将每个部分分割成尽可能小的部分。每次递归时，如果当前部分可以存储在一个机器上，则不需要分割。如果需要存储在多个机器上，则将其分割成两个或多个等大小的子部分，然后对每个子部分递归地调用相同的函数。

递归函数的返回值应该是一个整数，表示当前部分最终可以存储的最大数量。在返回的同时，还需要更新一个全局变量 $ans$，表示当前机器数量下的最大可用性。

具体实现方法可以使用动态规划来解决，用一个二进制数 $state$ 来表示每个机器是否存储了当前部分。从 $k=1$ 开始，枚举每个部分，计算在当前 $k$ 个机器上的可用性。对于每个部分，我们可以将其分割成多个子部分，并考虑在哪些机器上存储它们，以最大化可用性。最终，用 $dp_{k, state}$ 表示在 $k$ 台机器上且这些机器的状态为 $state$ 时的最大可用性。

具体实现可以参考代码片段。

代码片段

from functools import lru_cache

class Solution:
    def max_availability(self, n, k, parts):

        @lru_cache(None)
        def dfs(state):
            nonlocal ans
            
            max_cnt = 0
            for i in range(k):
                cnt = 0
                for j in range(n):
                    if (state >> j) & (1 << i):
                        cnt += 1
                
                if cnt > 1:
                    for sub_state in range(1 << n):
                        if sub_state & state != sub_state:
                            continue
                        ret = 1
                        for j in range(k):
                            cur_cnt = 0
                            for p in range(n):
                                if (sub_state >> p) & (1 << j):
                                    cur_cnt += 1
                            if cur_cnt > 1:
                                ret *= dfs(sub_state >> j * n)
                        max_cnt = max(max_cnt, ret)
            ans = max(ans, max_cnt)
            return max_cnt

        ans = 0
        dfs((1 << n) - 1)
        return ans

数据结构和算法

• 递归
• 动态规划

时间复杂度

• 递归：$O(2^{nk})$。
• 动态规划：$O(3^n 2^n)$。

以上时间复杂度来自于计算多次的情况，在有 lru_cache 的情况下时间复杂度大大降低，使用lru_cache后，递归复杂度降为$O(k3^n)$。虽然动态规划看起来复杂度很高，但是因为是使用了记忆化技巧，因此相对来说速度还是很快的。