门| GATE-CS-2002 |问题 33

这是一道来自GATE-CS-2002考试的问题，在这里，我们将会详细分析这道问题，并提供解决方案。

问题描述

给定两个有序整数数组A和B，每个数组的大小为n。设C是一个大小为2n的数组，其中前n个元素是A中的元素，后n个元素是B中的元素，且C中的元素也按照有序排列。设计一个O(n)的算法，用于查找C中第k个最小的元素。

解决方案

一个直接的思路是将C排好序，然后找到第k个最小的元素。这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，不满足题目中的O(n)要求。

我们可以用一个类似于快速排序的方法，将C数组中的元素分成两个部分，左边的元素都小于中间元素，右边的元素都大于中间元素。然后再比较中间元素的位置与k的关系，调整左右半部分元素的位置。

具体的操作如下：

1. 将C[n]设为中间元素
2. 在A中查找比中间元素小的元素的个数，设为cnt1
3. 在B中查找比中间元素小的元素的个数，设为cnt2
4. 如果cnt1+cnt2=k-1，那么中间元素就是第k个最小的元素
5. 如果cnt1+cnt2>k-1，那么中间元素的位置需要往前移动，即右边界减少
6. 如果cnt1+cnt2<k-1，那么中间元素的位置需要往后移动，即左边界增加
7. 重复步骤2-6，直到中间元素为第k个最小的元素

本算法的时间复杂度为O(n)，满足题目要求。

代码实现

/**
 * 查找C中第k个最小的元素
 * @param A 有序整数数组
 * @param B 有序整数数组
 * @param k 第k个最小的元素
 * @return C中第k个最小的元素
 */
public static int kthSmallestElement(int[] A, int[] B, int k) {
    int n = A.length;
    int[] C = new int[2 * n];
    System.arraycopy(A, 0, C, 0, n);
    System.arraycopy(B, 0, C, n, n);
    int left = 0;
    int right = 2 * n - 1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int cnt1 = 0;
        int cnt2 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (A[i] <= C[mid]) {
                cnt1++;
            }
            if (B[i] <= C[mid]) {
                cnt2++;
            }
        }
        if (cnt1 + cnt2 > k - 1) {
            right = mid - 1;
        } else if (cnt1 + cnt2 < k - 1) {
            left = mid + 1;
        } else {
            return C[mid];
        }
    }
    return C[left];
}

测试案例

这里提供几个测试案例，方便读者检查算法的正确性。

测试案例1：

A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

k = 5

期望输出：5

测试案例2：

A = {1, 2, 3, 4}

B = {5, 6, 7, 8}

k = 5

期望输出：5

测试案例3：

A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 4, 6, 8}

k = 6

期望输出：6

结语

本文介绍了一种O(n)的算法，用于查找有序整数数组中第k个最小的元素。通过采用类似于快速排序的方法，我们可以很快地找到第k个最小的元素，从而满足题目要求。本算法时间复杂度为O(n)，非常高效。