将Matrix中的所有左上至右下路径转换为回文式的最少步骤套装2

本文介绍如何用最少步骤将Matrix中的所有左上至右下路径转换为回文式。

题目描述

给定一个n * n的Matrix，Matrix中的每个元素是小写字母。请你将Matrix中的所有左上至右下的路径转换为回文式，且使得转换的步骤尽量少。

算法思路

本问题可以用动态规划算法来解决。具体来说，我们可以按照以下步骤进行求解。

步骤1：初始化

我们定义dp[i][j]表示Matrix中从(i,j)出发到右下角的路径转换为回文式的最少步骤数。其中，i和j的范围均为[0,n-1]。

我们可以发现，当i=n-1或j=n-1时，dp[i][j]的值为0。

步骤2：状态转移

我们考虑从dp[i][j]向其相邻的状态dp[i+1][j]和dp[i][j+1]转移。

如果Matrix[i][j]等于Matrix[i+1][j]，那么我们可以选择把Matrix[i][j]改成Matrix[i+1][j]，或者把Matrix[i+1][j]改成Matrix[i][j]，这样就可以将dp[i][j]转移为dp[i+1][j]，转移次数加1。

同理，如果Matrix[i][j]等于Matrix[i][j+1]，那么我们可以将dp[i][j]转移为dp[i][j+1]，转移次数加1。

步骤3：求解答案

我们最终的目标是求解dp[0][0]，即从左上角出发到右下角所需的最少步骤数。

注意到从dp[i][j]向dp[i+1][j]和dp[i][j+1]转移的过程其实可以看成是一个最小化编辑距离的问题（把Matrix[i][j]改成Matrix[i+1][j]或者Matrix[i][j+1]对应于增加一步编辑操作）。

因此，我们可以使用经典的最小编辑距离算法（如Levenshtein距离算法）来求解dp[0][0]。

代码实现

下面是使用Python实现的代码片段。其中，我们用levenshtein函数来实现最小编辑距离算法。

def levenshtein(s1, s2):
    if len(s1) > len(s2):
        s1, s2 = s2, s1

    distances = range(len(s1) + 1)

    for index2, char2 in enumerate(s2):
        newDistances = [index2 + 1]

        for index1, char1 in enumerate(s1):
            if char1 == char2:
                newDistances.append(distances[index1])
            else:
                newDistances.append(1 + min((distances[index1], distances[index1 + 1], newDistances[-1])))

        distances = newDistances

    return distances[-1]

def minSteps(matrix):
    n = len(matrix)
    dp = [[0] * n for i in range(n)]

    # 初始化
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(n-1, -1, -1):
            if i == n-1 or j == n-1:
                continue

            # 状态转移
            if matrix[i][j] == matrix[i+1][j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i+1][j] + 1

            if matrix[i][j] == matrix[i][j+1]:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j+1])
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j+1] + 1)

    # 求解答案
    ans = levenshtein(matrix[0][0:n//2], matrix[-1][(n-1)//2:n][::-1])
    for i in range(n//2):
        ans += levenshtein(matrix[i][0:(n-1)//2], matrix[n-1][((n-1)//2)+1:n][::-1])

    return ans

注意到上述代码中，我们假设Matrix的大小是n * n，也就是我们假定输入的矩阵是一个正方形。如果输入的矩阵是一个矩形，则需要相应地修改代码。