计算从 m x n 矩阵的左上到右下的所有可能路径

简介

本文介绍了一种计算从 m x n 矩阵的左上角到右下角的所有可能路径的方法。我们将使用动态规划算法来解决此问题。

假设我们有一个 m x n 的矩阵，我们需要计算从左上角 (0, 0) 到右下角 (m-1, n-1) 的所有可能路径。每次只能向右或向下移动一格。

我们将使用动态规划的思想来解决此问题。我们定义一个二维数组 dp[m][n]，其中 dp[i][j] 表示从左上角 (0, 0) 到达坐标 (i, j) 的所有可能路径数。

算法步骤

1. 初始化 dp[0][j] 和 dp[i][0] 为 1，因为只有一条路径可以到达第一行和第一列的任意位置。
2. 对于其他位置 (i, j)，我们可以通过从上方 (i-1, j) 或从左方 (i, j-1) 到达当前位置，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
3. 最终，dp[m-1][n-1] 即为从左上角到右下角的所有可能路径数。

代码示例

def countPaths(m, n):
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    # 初始化第一行和第一列
    for j in range(n):
        dp[0][j] = 1
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 1
    
    # 计算其他位置的路径数
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    return dp[m-1][n-1]

复杂度分析

• 时间复杂度：算法需要计算矩阵中的每个位置，所以时间复杂度为 O(m*n)。
• 空间复杂度：需要额外的二维数组 dp[m][n] 来保存路径数，所以空间复杂度为 O(m*n)。

总结

通过动态规划算法，我们可以高效地计算从 m x n 矩阵的左上角到右下角的所有可能路径数。使用动态规划的思想，我们可以通过当前位置的上方和左方的路径数来计算当前位置的路径数。这种方法具有较低的时间和空间复杂度，是解决类似问题的常用方法。