将矩阵中所有路径从左上角到右下角转换为回文路径的最小步骤

问题描述

给定一个大小为N×M的矩阵，矩阵中每个元素的值为一个小写字母。请你将矩阵中所有路径从左上角到右下角的所有非回文路径转换为回文路径，并求出所需的最少步骤。

在矩阵中，一条路径从左上角出发，每次只能向右或者向下移动一个格子，最终到达右下角。

例如，对于以下矩阵：

a b c d
e f g h
i j k l

从左上角到右下角的所有路径为：

a->b->c->d->h->l
a->b->c->g->h->l
a->b->f->g->h->l
a->b->f->k->l
a->e->f->g->h->l
a->e->f->k->l
a->e->j->k->l
a->i->j->k->l

其中有三条路径是回文路径，它们是：

a->b->c->d->c->b->a
a->b->f->g->f->b->a
a->e->f->g->f->e->a

剩余的路径都不是回文路径，例如第一条路径：

a->b->c->g->h->l

其中 g 和 h 之间的路径和 h 和 l 之间的路径都不是回文路径。

假设将非回文路径转换为回文路径的代价为路径长度的平方，例如上图中的路径长度为 5，则第一条路径的代价为 5 × 5 = 25。

求所有路径非回文路径转换为回文路径后的最小总代价。

解题思路

本问题可以通过动态规划来解决。

我们定义状态 dp[i][j][k][l] 表示子矩阵 matrix[i][j..k][i..l] 中所有路径从左上角到右下角的所有非回文路径转换为回文路径需要的最小步骤。

对于一个子矩阵 matrix[i][j..k][i..l]，有以下两种情况：

• 当 matrix[i][j] == matrix[i][l] 时，我们可以将上下两部分拼接起来形成回文路径，此时转换代价为 0，状态转移方程为：dp[i][j][k][l] = min(dp[i][j][k][l], dp[i][j][k][l-1])。

• 当 matrix[i][j] != matrix[i][l] 时，我们需要找到某个中间点 mid 使得 matrix[i][mid] == matrix[i][l]。此时，我们可以将上下两部分分别拼接起来再在中间插入一条横向的路径，形成回文路径。此时转换代价为 (k-i+1)^2，因为上下两部分分别的长度都为 k-i+1，而中间插入的路径长度为 1。状态转移方程为：

dp[i][j][k][l] = min(dp[i][j][k][l], dp[i][j][mid][l-1] + (k-i+1)*(k-i+1))

总的状态转移方程为：

dp[i][j][k][l] = min(
    dp[i][j][k][l],
    dp[i][j][k][l-1],                                        # 第一种情况
    dp[i][j][mid][l-1] + (k-i+1)*(k-i+1),                    # 第二种情况
)

其中，mid 是满足 matrix[i][mid] == matrix[i][l] 的最小的下标。

最终答案即为 dp[0][0][n-1][n-1]（假设矩阵的大小为 N×N）。

复杂度分析

由于子矩阵的大小最多为 N×N，因此状态的数量是 O(N^4) 的。对于每个状态，需要进行 O(N) 次转移，因此总时间复杂度为 O(N^5)。

参考代码

下面是使用 Python 语言实现的参考代码：