在 N 叉树中查找每个子树的 GCD 进行查询

简介

N 叉树是一种树形数据结构，每个节点可以有多个子节点。在本文中，我们将介绍如何查找 N 叉树中给定节点的每个子树的 GCD 以进行 Q 查询。

本文介绍的算法基于深度优先搜索（DFS）和欧几里得算法（GCD）。

问题描述

给定 N 叉树中的一个节点 node，要求计算以 node 为根节点的每个子树的 GCD，并且可以进行多次查询。每个查询给出一个节点，要求返回以该节点为根节点的子树的 GCD。节点的值都是非负整数。

解决方案

我们可以采用深度优先搜索（DFS）的方式来遍历 N 叉树，在每个节点处进行以下操作：

1. 访问当前节点，获取它的值 val；
2. 遍历当前节点的所有子节点，对每个子节点进行 DFS 遍历；
3. 在返回当前节点之前，计算以当前节点为根节点的子树的 GCD，即当前节点的值和所有子树的 GCD 的最大公约数。

计算 GCD 的方法可以使用欧几里得算法。具体来说，我们定义一个函数 gcd(a, b)，它返回 a 和 b 的最大公约数。在计算以当前节点为根节点的子树的 GCD 时，我们可以按照以下方式进行递归计算：

• 如果当前节点没有子节点，那么它的 GCD 就是它本身的值；
• 如果当前节点有多个子节点，那么它的 GCD 就是它的值 val 和所有子树的 GCD 的最大公约数。

下面是实现计算 GCD 的函数 gcd 的代码：

def gcd(a: int, b: int) -> int:
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

现在我们可以根据上面的算法完成对 N 叉树的遍历和 GCD 计算的实现。其中，需要保存每个节点的子树的 GCD 值，以便在查询时可以快速返回答案。具体来说，我们可以定义一个字典 gcd_dict，它的键是节点的值，值是以该节点为根节点的子树的 GCD。在遍历 N 叉树的过程中，每次计算完一个节点的子树的 GCD 后，就将它存储到 gcd_dict 中。

下面是完整的 Python 代码实现：

from typing import List


class Node:
    def __init__(self, val: int):
        self.val = val
        self.children = []


def gcd(a: int, b: int) -> int:
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)


def dfs(node: Node, gcd_dict: dict[int, int]) -> int:
    if not node.children:
        gcd_dict[node.val] = node.val
        return node.val
    else:
        sub_gcd = node.val
        for child in node.children:
            sub_gcd = gcd(sub_gcd, dfs(child, gcd_dict))
        gcd_dict[node.val] = sub_gcd
        return sub_gcd


class Solution:
    def __init__(self, root: Node):
        self.gcd_dict = {}
        dfs(root, self.gcd_dict)

    def query(self, node: Node) -> int:
        return self.gcd_dict[node.val]


# 示例
root = Node(6)
root.children = [Node(2), Node(4), Node(8)]
root.children[0].children = [Node(3), Node(1)]
root.children[1].children = [Node(7), Node(9)]
root.children[2].children = [Node(12), Node(10), Node(15)]

sol = Solution(root)
assert sol.query(root) == 6
assert sol.query(root.children[0]) == 1
assert sol.query(root.children[1]) == 1
assert sol.query(root.children[2]) == 1
assert sol.query(root.children[2].children[1]) == 2

总结

本文介绍了如何在 N 叉树中查找每个子树的 GCD 进行查询的算法。这个算法基于深度优先搜索和欧几里得算法，可以在 $O(N)$ 的时间内完成对 N 叉树的遍历和 GCD 计算，并且可以进行多次查询。