门 | GATE-CS-2004 |第 85 题

这道题目考查了程序员对图论的理解和应用。主要内容是根据提供的图形，构建程序来实现给定的要求。以下是一些需要了解的概念：

• 图（Graph）：由节点和边组成的抽象数据类型。
• 有向图（Directed Graph）：边有方向的图。
• 无向图（Undirected Graph）：边无方向的图。
• 路径（Path）：从一个节点到另一个节点的连续边组成的序列。
• 单源最短路径（Single-Source Shortest Path）：从一个起点到其他所有节点的最短路径。
• Dijkstra 算法：解决单源最短路径问题的经典算法。

给定一个有向图，节点表示车站，边表示两个车站之间的直达路线，边权表示两个车站之间的距离，要求实现一个函数，根据起点和终点，输出从起点到终点的最短路径。

以下是 Python 实现代码：

from heapq import heappush, heappop

def dijkstra(adj, src, dst):
    dist = {v: float("inf") for v in adj}
    dist[src] = 0
    prev = {}

    pq = [(0, src)]

    while pq:
        u_dist, u = heappop(pq)

        if u == dst:
            path = []
            while u:
                path.append(u)
                u = prev.get(u)
            return path[::-1], u_dist

        if u_dist > dist[u]:
            continue

        for v, w in adj[u].items():
            alt = u_dist + w
            if alt < dist[v]:
                dist[v] = alt
                prev[v] = u
                heappush(pq, (alt, v))

    return None, None

其中 adj 是图的邻接表，src 是起点，dst 是终点。函数返回 (path, dist)，其中 path 表示最短路径，dist 表示最短距离。

该算法的时间复杂度为 $O(E \log V)$，其中 $E$ 是边数，$V$ 是节点数。使用堆优化后，该算法的空间复杂度为 $O(V)$。