仅由元音组成的子串计数

介绍

仅由元音字母组成的子串指的是字符串中所包含的仅由元音字母(a, e, i, o, u)组成的子串。例如，在字符串"aeiou"中，仅由元音字母组成的子串为"a", "e", "i", "o", "u", "ae", "ei", "io", "ou", "aei", "eio", "iou"以及"aeio"。

计算一个字符串中仅由元音字母组成的子串的个数是一道经典的算法问题，也是字符串中的一大难点。这个问题涉及到了字符串中子串的生成和匹配，需要运用到动态规划、滑动窗口等算法，具有很强的理论和实际应用价值，在面试中也经常被提及。

实现

对于这个问题，有多种解法。以下两种是较为常见的。

动态规划

动态规划可以解决一类子串计数问题，具有最优子结构和重叠子问题两个特点。因此，本问题也可以通过动态规划的方式求解。

算法思路：

• 定义状态：dp[i][j]表示以字符j结尾的长度为i的子串中，仅由元音字母组成的子串数量。
• 状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + count(j)，其中count(j)表示字符j作为最后一个字符时，以j结尾的仅由元音字母组成的子串数量。
• 最终结果：结果为dp[i][j]的累加和，其中0 <= i <= n, n为字符串长度，0 <= j < n。

具体实现见代码：

def countVowelSubstrings(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(5)]
    res = 0
    for j in range(n):
        for i in range(5):
            if j == 0:
                dp[i][j] = 1
            else:
                if i == 0:
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1 if s[j] == 'a' else dp[i][j-1]
                elif i == 1:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if s[j] == 'e' else dp[i][j-1]
                elif i == 2:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if s[j] == 'i' else dp[i][j-1]
                elif i == 3:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if s[j] == 'o' else dp[i][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if s[j] == 'u' else dp[i][j-1]
            res += dp[i][j]
    return res

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$

滑动窗口

滑动窗口算法可以有效解决子串问题，使得问题的时间复杂度进一步降低。

算法思路：

• 定义双指针left和right，分别表示窗口左右边界，同时以right作为结尾，left作为开头形成了一个窗口。
• 当窗口中仅含有元音字母时，子串数量为窗口长度加上之前的仅含元音字母的子串数量。
• 当窗口中含有非元音字母时，需要将窗口左边界right移到当前位置，重新开始计算。

具体实现见代码：

def countVowelSubstrings(s: str) -> int:
    n = len(s)
    left, right = 0, 0
    res, cnt = 0, 0
    while right < n:
        if s[right] in ['a', 'e', 'i', 'o', 'u']:
            cnt += 1
            res += right - left + 1
        elif cnt > 0:
            cnt = 0
            left = right + 1
        right += 1
    return res

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(1)$

总结

本问题是一个经典的问题，需要理解动态规划和滑动窗口等核心算法，并能够熟练地掌握这两种算法的实现，才能在面试中游刃有余。另外，对于字符串问题还需熟练掌握KMP算法、Trie树等高级算法，才能面对更为复杂的问题。