计算具有 N 个节点且最大深度等于 H 的BST的计数

二叉搜索树(Binary Search Tree，简称BST)是一种常见的数据结构，其中每个节点最多含有两个子节点，且所有左子树节点的值均小于其父节点的值，所有右子树节点的值均大于其父节点的值。当且仅当每个节点的左子树和右子树都是二叉搜索树时，整棵树才是二叉搜索树。

题目中要求我们计算具有 N 个节点且最大深度等于 H 的二叉搜索树的个数。具体而言，可以将问题视为对于一个数组 [1, 2, 3, ..., N]，将其分成两个长度分别为 k 和 N-k-1 的左右子树，并且递归地对左右子树进行构建，得到的二叉搜索树即为合法的BST。

根据二叉搜索树的定义，我们可以很容易地得出递推公式：

$G(n)$ 表示长度为 n 的数组可以构成的BST总数，$F(i, n)$ 表示以 i 为根节点，长度为 n 的数组可以构成的BST总数，那么：

$G(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} {F(i, n)}$

而 $F(i, n)$ 又可以分为左右子树递归求解，即：

$F(i, n) = G(i-1) \times G(n-i)$

那么我们就可以得到递推公式：

$G(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} {G(i-1) \times G(n-i)}$

这是一种非常典型的动态规划问题。我们可以利用一个数组 $dp$ 来保存结果，其中 $dp[i]$ 表示长度为 i 时的BST总数。对于长度为 n 的数组，我们需要依次计算从长度为 1 到 n 的 BST总数，最终返回 $dp[n]$ 即可。

以下是Python语言实现的代码片段：

def count_bst(n: int, h: int) -> int:
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            if j > h:
                break
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
    return dp[n]

以上代码片段中，我们对于长度为 i 的BST总数进行了计算，并保存到 $dp[i]$ 中。在内层循环中，j 代表左子树的长度，那么右子树的长度就是 i-j-1，我们只需要判断左子树或右子树的最大深度是否超过了 h 即可停止计算。

在时间复杂度上，该实现的复杂度为 $O(n^2)$。对于此类问题，我们也可以使用卡特兰数的公式进行求解，算法复杂度可以优化到 $O(n)$，但需要掌握相关数学知识，此处不作详细介绍。