最多反转两个元素后的最大子数组总和

介绍

在一个整数数组中，我们可以最多执行两次交换相邻元素的操作。请找出在执行最多两次交换操作后，得到的最大子数组总和。

例如，对于数组 [1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10]，我们最多可以将 -2 和 -4 交换，将 -6 和 -8 交换，得到数字 1 3 5 7 9 的和 25。

解法

思路

首先，我们可以直接忽略交换元素的操作，来解决子数组最大总和的问题。这个问题可以用动态规划来解决，其具体思想为：对于任意一个位置i，我们需要找到一个包含位置i的最大子数组，这个子数组可能从位置0开始，也有可能从位置i-1开始，也有可能从位置i开始。

为了找到包含位置i的最大子数组，我们需要记录两个变量：

1. max_ending_here: 以位置i结尾的最大子数组和，这个子数组必须至少包含位置i。

2. max_so_far: 所有子数组的最大和，此值为全局最优解。

接下来，可以参考 Maximum Subarray的解法来实现要求子数组最大总和的算法。

代码

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_ending_here, max_so_far = 0, float('-inf')
    for i in range(n):
        max_ending_here = max(nums[i], max_ending_here + nums[i])
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

我们在上面的算法中没有考虑任何交换元素的操作，因此需要我们来考虑如何最多交换两个元素的情况。

显然，如果我们只能交换一个元素，那么最大子数组总和可能最多增加2 * abs(m)次，其中m是数组中最小的负数。这个结果很好理解，因为我们如果要增加最大子数组总和，我们需要增加的就是最小的负数m。而我们最多可以交换两次，所以最多可以增加2 * abs(m)。

当我们最多能够交换两个元素时，我们需要考虑哪两个位置应该被交换。可以发现，我们只需要交换在数组中最多有两部分时可以使数组让最大子数组总和变大。这两部分可以是：两个单独的元素和一个长度大于等于2的子数组的两个元素。

对于两个单独的元素，我们可以直接枚举所有的情况，然后计算交换后能够最大化的子数组总和。

对于一个长度大于等于2的子数组，我们可以将其分成两部分：左子数组和右子数组。如果我们交换左子数组的最后一个元素和右子数组的第一个元素，将会得到一个新的子数组。这个新的子数组可以产生的最大贡献值等于：新的左子数组的最大子数组值加上新的右子数组的最大子数组值。我们只需要枚举所有情况，然后找到产生最大贡献值的新子数组。

代码

def max_sum_after_swap(nums):
    n = len(nums)
    m = min(nums)
    ans = max_sum(nums)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
            ans = max(ans, max_sum(nums))
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    for i in range(1, n-1):
        if nums[i-1] < nums[i] > nums[i+1]:
            l, r = i-1, i+1
            while l >= 0 and nums[l] == nums[i-1]:
                l -= 1
            while r <= n-1 and nums[r] == nums[i+1]:
                r += 1
            new_sum = max_sum(nums[:l+1]) + max_sum(nums[r:])
            for x in range(l+1, i):
                for y in range(i+1, r):
                    nums[x], nums[y] = nums[y], nums[x]
                    ans = max(ans, new_sum + max_sum_after_swap(nums))
                    nums[x], nums[y] = nums[y], nums[x]
    return ans

测试

我们可以检查我们的实现是否正确，可以考虑以下几个测试用例：

• 测试用例一：nums = [1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10]。答案为25（将-2和-4交换，将-6和-8交换，得到数字1 3 5 7 9的和25）。

• 测试用例二：nums = [2, 5, -1, 2, 4, 7, 3, -2]。答案为24（将-1和5交换，得到数字2 2 4 7 3的和18，然后将-2和3交换，得到数字2 2 4 7的和15，然后再将5和2交换，得到数字2 4 7的和13，最后得到数字2 4 7 3的和16）。

• 测试用例三：nums = [1, 2, 3, 4]。答案为10（数组没有负数，不需要交换元素）。

• 测试用例四：nums = [1, 2, -5, 4]。答案为7（将-5和2交换，得到数字1 4 2 4的和11，然后再将4和2交换，得到数字1 4 4 4的和13，最后得到数字4 4的和8）。

总结

本题实现的难度较高，需要对：动态规划、暴力搜索、贪心思想的代码实现有一定掌握。在实现过程中，需要注意代码细节，避免出现bug。